Seja A a área da região limitada pelas curvas y = 7 x 2 - 2 x e y = 19 x - 3 x 2 + x 3 . O valor de 12A é quanto?

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Nessa questão aqui a ideia principal é a gente desenhar nossas curvas no plano cartesiano, mas, antes vamos fazer uma manipulação aqui de leve:

y = x 7 x - 2

y = x 19 - 3 x + x 2

Como temos uma equação quadrática e outra cúbica, sabemos que a quadrática vai ter concavidade pra cima (curva sorrindo) e que ela é a curva que vai estar por cima em relação a curva da equação cúbica. Isso é MUITOOOO IMPORTANTE e você vai saber o porquê mais pra frente.

Passo 2

Vamos de início ver onde esses dois gráficos vão se cruzar?

x 7 x - 2 = x 19 - 3 x + x 2

7 x - 2 = 19 - 3 x + x 2

x 2 - 10 x + 21 = 0

Aplicando báskara, observamos que esses gráficos vão se cruzar em dois pontos, que são essas raízes:

x 1 = 7

x 2 = 3

Passo 3

Agora que descobrimos os valores onde elas se cruzam, podemos aplicar a diferença das integrais das curvas pra calcular o valor de A. Como a gente tinha dito, sabemos que a curva quadrática está por cima porque ela é uma curva “sorrindo” e que tem a mudança de coeficiente angular quando x , y = ( 0,0 ) .

A = ∫ 3 7 7 x 2 - 2 x d x - ∫ 3 7 19 x - 3 x 2 + x 3 d x

Aplicando nossa integração, vamos ter:

A = 7 3 x 3 - x 2 3 7 - 19 x 2 2 - x 3 + x 4 4 3 7

Note que isso é:

A = 7 3 7 - 3 3 - 7 - 3 2 - 19 2 7 - 3 2 + 7 - 3 3 + 7 - 3 4 4

A = 7 3 4 3 - 4 2 - 19 2   4 2 + 4 3 + 4 4 4

A = 7 3 + 1 4 3 - 1 + 19 2 4 2 + 4 3

A = 7 3 + 2 4 3 - 1 + 19 2 4 2

A = 13 3 4 3 - 21 2 4 2

A = 832 3 - 168

A = 328 3

Passo 4

Portanto,

12 A = 12   328 3 = 1312

Resposta

1312

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