Seja A o conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gráfico de y = 3 - 2 x - x 2 , com - 1 ≤ x ≤ 2 . Desenha A e calcule sua área.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse tipo de problema é bem tradicional na parte de aplicações de integrais. Temos que desenhar uma região no plano cartesiano e em seguida calcular sua área.

Primeiro damos uma olhada na parábola y = 3 - 2 x - x 2 . Suas raízes são soluções da equação

3 - 2 x - x 2 = 0 → x 1 = - 3           e           x 2 = 1

O vértice, que corresponde ao máximo, ocorre em

x V = x 1 + x 2 2 = - 1

Daí, fica fácil esboçar a região limitada pela parábola, pelo eixo x (reta y = 0 ) e pelas retas verticais x = - 1 e x = 2 :

Passo 2

Para calcular a área da região laranja, temos que quebrar duas integrais: um de x = - 1 até x = 1 , e outro de x = 1 até x = 2 . Na primeira integral, a função que integramos é 3 - 2 x - x 2 - 0 . Já na segunda, integramos o oposto: 0 - 3 - 2 x - x 2 . Logo,

A = ∫ - 1 1 3 - 2 x - x 2   d x + ∫ 1 2 x 2 + 2 x - 3   d x

Fazendo a primitiva:

A = 3 x - x 2 - x 3 3 - 1 1 + x 3 3 + x 2 - 3 x 1 2

Daí, é só substituir os limites:

A = 3 - 1 - 1 3 - - 3 - 1 + 1 3 + 8 3 + 4 - 6 - 1 3 + 1 - 3

Logo,

A = 6 - 2 3 + 7 3 = 6 + 5 3

Portanto,

A = 23 3

Resposta

A = 23 3

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