Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Seja f x = ln ⁡ ( 4 - 2 x ) . Considere a região plana

R = x ,   y ∈ R 2 x ≥ 0 ,   0 ≤ y ≤ f x

b) Esboce abaixo a região R . Indique em seu desenho as coordenadas dos pontos de interseção

do gráfico de f com os eixos x e y .

c) Escreva a área de R como uma integral na variável x .

d) Escreva a área de R como uma integral na variável y .

e) Calcule a área de R .

Passo 1

b) Para encontrarmos a intersecção de f ( x ) com o eixo y , vamos calcular f ( 0 ) , e para encontrarmos a intersecção de f ( x ) com o eixo x , vamos calcular f x = 0 .

Com o eixo y :

f 0 = ln ⁡ 4 - 2.0 = l n ⁡ ( 4 )

Então o ponto de intersecção com o eixo y é ( 0 , ln ⁡ 4 ) .

Com o eixo x :

ln ⁡ 4 - 2 x = 0

e 0 = 4 - 2 x

4 - 2 x = 1

2 x = 3

x = 3 2

Então o ponto de intersecção com o eixo x é 3 2 , 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O gráfico de f ( x ) é assim:

Como a região R é tal que R = x ,   y ∈ R 2 x ≥ 0 ,   0 ≤ y ≤ f x

Então ela vai ser essa partezinha verde:

Passo 3

c) No eixo x , observando no gráfico do passo anterior, a região de R tem área de x = 0 até x = 3 2 , sendo dada pela integral de f :

A R = ∫ 0 3 2 ln ⁡ 4 - 2 x   d x

Passo 4

d) A primeira coisa que vamos fazer aqui vai ser escrever nossa função com a variável y , ou seja, inverter a função:

y = l n ⁡ ( 4 - 2 x )

e y = 4 - 2 x

2 x = 4 - e y

x = 4 - e y 2

No eixo y , olhando nosso gráfico de lado, a área de R vai de 0 até ln ⁡ ( 4 ) não é? Então:

A R = ∫ 0 l n ⁡ ( 4 ) 2 - e y 2 d y

Passo 5

e) Vamos calcular a área de R usando a integral do item d:

A R = ∫ 0 l n ⁡ ( 4 ) 2 - e y 2 d y

A R = ∫ 0 l n ⁡ ( 4 ) 2   d y - ∫ 0 l n ⁡ ( 4 ) e y 2 d y

A R = 2 y 0 ln ⁡ 4 - 1 2 e y 0 ln ⁡ 4

A R = 2 . ln ⁡ 4 - 0 - 1 2 ( e ln ⁡ 4 - e 0 )

A R = 2 . ln ⁡ 4 - 1 2 ( 4 - 1 )

A R = 2 . ln ⁡ 4 - 3 2

Resposta

b)

c) A R = ∫ 0 3 2 ln ⁡ 4 - 2 x   d x

d) A R = ∫ 0 l n ⁡ ( 4 ) 2 - e y 2 d y

e) A R = 2 . ln ⁡ 4 - 3 2

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