Seja f x ,   y = x y a função definida no disco unitário D = { x ,   y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 1 } e seja S o gráfico da função f . Ache a área de S .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área a área da superfície S , que é definida pela função f ( x ,   y ) , então nós precisamos calcular:

∬ S f ( x ,   y ,   z ) d S

Essa é uma integral de superfície, lembra? E essa integral é equivalente a integral sobre a região D , dada pela fórmula:

∬ D f ( x ,   y ,   g x ,   y ) ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d D

Então, o que nós precisamos fazer? Nós precisamos parametrizar S , chamando uma função ϕ x ,   y = ( x ,   y ,   f x ,   y ) , calcular a raiz equivalente a d S , com suas derivadas parciais, e substituir na integral para encontrar a área A S , que passa a ter a forma:

A S = ∬ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d x d y

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de f x ,   y = z = x y em relação a x :

∂ z ∂ x = y

Calculando agora a derivada parcial de z em relação a y , temos:

∂ z ∂ y = x

Substituindo na equação de d S :

d S = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d D

d S = y 2 + x 2 + 1     d D

Elevando os termos ao quadrado, vamos obter:

d S = x 2 + y 2 + 1     d D

Passo 3

Após a parametrização ϕ x ,   y = ( x ,   y ,   f x ,   y ) , temos a nossa integral de área:

A S = ∬ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d x d y

Com o resultado do passo anterior, temos:

A S = ∬ D x 2 + y 2 + 1       d x d y

O enunciado nos deu a região D = { x ,   y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 1 } , que representa uma circunferência de raio menor ou igual a 1 . Então, pra facilitar nossa vida, podemos transformar a integral para coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Substituindo na integral, vamos ter:

A S = ∬ D ( r cos ⁡ θ ) 2 + ( r sin ⁡ θ ) 2 + 1       d x d y

A S = ∬ D r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) + 1       d x d y

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 :

A S = ∬ D r 2 + 1       d x d y

Além disso, o ângulo θ da circunferência varia de 0 a 2 π e o raio varia de 0 a 1 . Ou seja:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 1

Então, nossa integral fica:

∬ D r 2 + 1       d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 + 1   r d r d θ

Passo 4

Agora vamos calcular nossa integral. Pra integrar em relação a r , vamos chamar u = r 2 + 1 . Assim,

d u = 2 r   d r →   d u 2 = r d r

Substituindo na integral, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 + 1   r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 u d u 2 d θ

Como 1 / 2 é constante, a gente pode colocar do lado de fora da integral:

1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 u d u d θ

Sabendo que u = u 1 / 2 , nós podemos usar a regrinha da potência pra integrar ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ):

1 2 ∫ 0 2 π u 1 2 + 1 1 2 + 1 0 1 d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 2 u 3 / 2 3 0 1 d θ

Antes de aplicar os limites de integração, precisamos voltar a nossa variável original r . Lembra que nós definimos u = r 2 + 1 ? Então, vamos substituir de volta na integral:

1 2 ∫ 0 2 π 2 3 ( r 2 + 1 ) 3 / 2 0 1 d θ

Agora aplicando os limites de integração:

1 2 ∫ 0 2 π 2 3 ( ( 1 ) 2 + 1 ) 3 / 2 - ( ( 0 ) 2 + 1 ) 3 / 2 d θ

1 2 ∫ 0 2 π 2 3 ( 2 3 / 2 - 1 ) d θ

Passo 5

Já podemos integrar em relação a θ . Repare que a gente só tem constantes dentro da integral, então podemos escrevê-las do lado de fora:

1 3 ( 2 3 / 2 - 1 ) ∫ 0 2 π d θ

Integrando:

1 3 2 3 2 - 1 θ 0 2 π

Aplicando os limites de integração em θ :

1 3 2 3 2 - 1 ( 2 π - 0 )

Multiplicando os termos:

2 π 3 2 3 2 - 1

E encontramos nossa área.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A ( S ) = 2 π 3 2 3 2 - 1

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