Seja D a região de interseção das curvas r = 2 sin ⁡ θ e r 2 = sin ⁡ ( 2 θ ) . Esboce a região e calcule sua área.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu duas curvas polares e pediu pra gente esboçar e calcular a área da região entre elas.

Então vamos tentar identificar o tipo de gráfico representado pela equação em coordenadas polares e estimar a área entre eles calculando a integral das funções dadas:

A = ∫ r θ 2 d θ

Vamos lá!

Passo 2

Galera, no primeiro caso temos a equação r = 2 sin ⁡ θ , que é uma equação do tipo:

r = b sin ⁡ θ

Que descreve uma circunferência de centro no eixo π 2 e que tangencia o eixo polar. Se b > 0 , o gráfico está acima do polo, e se b < 0 , o gráfico está abaixo do polo. Como aqui b = 2 > 0 , nosso gráfico está acima do polo.

Passo 3

Nossa segunda equação é r 2 = sin ⁡ ( 2 θ ) , uma equação do tipo:

r 2 = ± a 2 sin ⁡ ( 2 θ )

onde a ∈ R . Esse tipo de equação descreve uma lemniscata r 2 = a 2 sin ⁡ ( 2 θ ) , que é desenhada dessa forma:

Juntando as duas curvas no gráfico, temos:

Passo 4

Agora para calcular a área entre essas duas curvas, vamos ter que primeiro encontrar seus pontos de interseção igualando as equações r = 2 sin ⁡ θ e r 2 = sin ⁡ ( 2 θ ) :

2 sin ⁡ θ 2 = sin ⁡ ( 2 θ )

2 sin 2 ⁡ θ = sin ⁡ ( 2 θ )

Usando a identidade trigonométrica: sin ⁡ ( 2 θ ) = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ , temos:

2 sin 2 ⁡ θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

2 sin 2 ⁡ θ - 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

Colocando sin ⁡ θ em evidência:

2 sin ⁡ θ sin ⁡ θ - cos ⁡ θ = 0

Então, temos sin ⁡ θ = 0 ou sin ⁡ θ - cos ⁡ θ = 0 . Pra que a primeira condição seja verdade, teremos θ = 2 π n ou θ = π + 2 π n . Agora para:

sin ⁡ θ - cos ⁡ θ = 0

sin ⁡ θ = cos ⁡ θ

Dessa forma, θ = π 4 + π n , onde n é um número inteiro. Mas repare que no gráfico, a região entre as curvas está apenas no primeiro quadrante, então vamos ter nossa área dada por:

A = ∫ 0 π 4 2 sin ⁡ θ 2 d θ + ∫ π 4 π 2 sin ⁡ ( 2 θ ) d θ

A = ∫ 0 π 4 2 sin 2 ⁡ θ d θ + ∫ π 4 π 2 sin ⁡ ( 2 θ ) d θ

Reescrevendo usando identidades trigonométricas, temos:

A = 2 ∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ ( 2 θ ) 2 d θ + ∫ π 4 π 2 sin ⁡ ( 2 θ ) d θ

Resolvendo as integrais:

A = θ - sin ⁡ 2 θ 2 0 π 4 + - 1 2 cos ⁡ 2 θ π 4 π 2

A = π 4 - 1 2 + 1 2 = π 4

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 4

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