10.4 Seja R a região limitada por y = x e por y = x 4 , com x ∈ 0,1 .

b) Seja S o sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x . Calcule o volume de S .

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R , delimitada pelas curvas y = x e y = x 4 e com x entre 0 e 1.

Pra isso vamos usar a fórmula para a rotação no eixo x :

S = ∫ a b π f x 2 d x

Onde f x e a diferença entre as duas curvas.

Passo 2

Fazendo um esboço dessas curvas, temos:

Temos a curva y = x em verde e a curva y = x 4 em azul. A área que queremos calcular está em rosa.

Então o f x será:

f x = x - x 4

Passo 3

Calculando o volume:

S = ∫ a b π f x 2 d x

= ∫ 0 1 π x - x 4 2 d x

= ∫ 0 1 π x 2 - 2 x 5 + x 8 d x

= π x 3 3 - 2 x 6 6 + x 9 9 0 1

= π 1 3 - 2 6 + 1 9

= π 9

Resposta

π 9

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