10.4 Seja R a região limitada por y = x e por y = x 4 , com x ∈ 0,1 .

c) Seja W o sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo y . Qual o volume de W ?

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R , delimitada pelas curvas y = x e y = x 4 e com x entre 0 e 1.

Pra isso vamos usar a fórmula para a rotação no eixo y :

W = ∫ a b π f y 2 d y

Onde f y e a diferença entre as duas curvas.

Passo 2

Fazendo um esboço dessas curvas, temos:

Temos a curva y = x em verde e a curva y = x 4 em azul. A área que queremos calcular está em rosa.

Atenção porque agora queremos fazer a rotação no eixo y , então precisamos inverter as função e achar em função de y .

Pra y = x é x = y .

Pra y = x 4 é x = ± y 1 4 , maaas é só a parte positivo, como vemos no gráfico, então x = y 1 4

Então o f y será (como é em y a função que estiver mais pra direita vem antes)

f y = y 1 4 - y

Ahhhh.. e os limite de integração, por coincidência, também são de 0 até 1 (o y também varia de 0 a 1).

Passo 3

Calculando o volume:

W = ∫ a b π f y 2 d y

= ∫ 0 1 π y 1 4 - y 2 d y

= ∫ 0 1 π y 1 2 - 2 y 5 4 + y 2 d x

= π y 3 2 3 2 - 2 y 9 4 9 4 + y 3 3 0 1

= π 2 y 3 2 3 - 8 y 9 4 9 + y 3 3 0 1

= π 2 3 - 8 9 + 1 3

= π 9

Resposta

π 9

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