11.4 Seja R a região limitada pelos gráficos de y = 2 x - x 3 e y = x para x ∈ 0,1 e S o sólido obtido pela revolução desta área em torno do eixo y .

a) Calcule a área de R

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a área da região R limitada pelos gráficos y = 2 x - x 3 e y = x no intervalo entre x = 0 e x = 1 .

Pra isso vamos lembrar que pra calcular a integral de uma região usamos integral:

R = ∫ a b y 2 - y 1 d x

Onde y 2 é a curva que estiver mais acima e y 1 a curva que estiver embaixo. E a e b são os limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos fazer um esboço do gráfico pra saber quem está em cima e quem está embaixo:

No gráfico temos a curva verde, que representa y = 2 x - x 3 e a curva azul, que representa y = x .

No intervalo entre x = 0 e x = 1 , a curva verde está por cima, né?

Então a integral fica:

R = ∫ a b y 2 - y 1 d x

R = ∫ 0 1 2 x - x 3 - x d x

R = ∫ 0 1 x - x 3 d x

Passo 3

Resolvendo essa integral:

R = x 2 2 - x 4 4 0 1

R = 1 2 - 1 4

R = 1 4   u . a .

Resposta

1 4   u . a .

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