Seja R a região limitada do plano que é delimitada pelas curvas:

y = x 4 11 - x           e           y = 0

Sabendo que o gráfico da função y = α x 4 , com 0 < α < 11 , divide R em duas regiões de área iguais, o valor de α é

a) 11 1 - 1 2 4

b) 11 4

c) 11 1 - 1 2 6

d) 4 11

e) 11 1 - 1 2 5

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Em qualquer problema em que brincamos com áreas entre curvas, o primeiro passo é sempre esboçar as curvas. Em vermelho temos a curva y = x 4 11 - x e em azul a curva y = α x 4 :

Vale destacar que como não sabemos o valor de α , a curva em azul pode cortar a curva em vermelho em qualquer ponto com 0 < x < 11 . Outro detalhe importante: não nos importamos com muitos detalhes sobre a curva vermelha, apenas que ela apresenta raízes em x = 0 e x = 11 .

É importante encontrar o ponto de intersecção entre as curvas. Para isso, igualamos

x 4 11 - x = α x 4

Simplificando x 4 dos dois lados:

11 - x = α → x L = 11 - α

Passo 2

Para que a curva azul corte a região R em duas regiões com áreas iguais, devemos ter

A 1 = A 2 + A 3

Vamos calcular A 1 . Repare que se trata da área entre a curva azul e curva vermelha com x entre x = 0 e x = x L = 11 - α :

A 1 = ∫ 0 x L y v e r m e l h o - y a z u l   d x = ∫ 0 11 - α x 4 11 - x - α x 4   d x

Logo,

A 1 = ∫ 0 11 - α 11 - α x 4 - x 5   d x = 11 - α 5 x 5 - x 6 6   0 11 - α

Portanto,

A 1 = 11 - α 5 ⋅ 11 - α 5 - 11 - α 6 6 = 11 - α 6 30

Vamos guardar essa informação!

Passo 3

Observe que a área da região A 2 corresponde à área entre o eixo x e a curva azul:

A 2 = ∫ 0 x L y a z u l   d x = ∫ 0 11 - α α x 4   d x = α 5 x 5 0 11 - α = α 11 - α 5 5

Já a área A 3 corresponde à área entre o eixo x e a curva vermelha com x variando de x = x L até x = 11 :

A 3 = ∫ x L 11 x 4 11 - x   d x = ∫ 11 - α 11 11 x 4 - x 5   d x

Logo,

A 3 = 11 x 5 5 - x 6 6 11 - α 11 = 11 6 5 - 11 6 6 - 11 5 11 - α 5 - 11 - α 6 6

A 3 = 11 6 30 - 11 - α 5 11 5 - 11 - α 6

A 3 = 11 6 30 - 11 5 11 - α 5 + 11 - α 6 6

Passo 4

Bom, agora a parte de calcula acabou, resta apenas equacionar tudo e achar α ! Sabemos que A 1 = A 2 + A 3 . Substituindo tudo:

11 - α 6 30 = α 11 - α 5 5 + 11 6 30 - 11 5 11 - α 5 + 11 - α 6 6

Resolver essa equação não parece ser uma coisa muito simples. Vamos fazer o seguinte: passar tudo que envolve α para o mesmo lado:

11 - α 6 30 - α 11 - α 5 5 + 11 5 11 - α 5 - 11 - α 6 6 = 11 6 30

Colocando 11 - α 5 em evidência:

11 - α 5 11 - α 30 - α 5 + 11 5 - 11 - α 6 = 11 6 30

Portanto,

11 - α 5 11 - α - 6 α + 66 - 55 + 5 α 30 = 11 6 30

11 - α 5 22 - 2 α 30 = 11 6 30

11 - α 5 ⋅ 2 11 - α = 11 6

Ufa, estamos quase lá! Podemos escrever

11 - α 6 = 11 6 2

Tiramos a raiz sexta dos dois lados:

11 - α = ± 11 2 6

Assim,

α = 11 1 ± 1 2 6

Como 0 < α < 11 , o termo dentro do parêntesis deve ser menor que 1 , de modo que escolhemos o sinal de - :

α = 11 1 - 1 2 6

Depois desse rolê gigante, chegamos na alternativa C 😉.

Resposta

Alternativa C.

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