Seja R a região plana dada pelo esboço abaixo:

Onde f 1 ,   f 2   e f 3 são funções tais que:

  • f 1 x = sin ⁡ a x , com a   ∈ I R uma constante
  • O gráfico de f 2 é uma semicircunferência com máximo nos pontos 0,0 e 2,0
  • O gráfico de f 3 é uma reta que passa pela origem e pelo ponto de mínimo da função f 2
  1. Determine a expressão das funções f 1 ,   f 2   e f 3
  2. Escreva a área da região R como uma soma de duas integrais na variável x
  3. Calcule a área da região R

Passo 1

Gráfico de f 1

Vamo que vamo. A questão tá pedindo a expressão das funções na letra a . Beleza, vamos começar com f 1 x . Já sabemos que:

f 1 x = sin ⁡ a x

Precisamos achar então a . Ok, ok, mas e agora? Bem, vamos olhar com calma pro círculo trigonométrico:

Po, essa função só zera quando o ângulo é igual à 0 ou um múltiplo inteiro de π ! Sendo assim

sin ⁡ x = 0   s e   x = π k   ,   k = 0,1 , 2 , …

Mas pelo gráfico, vemos que:

f 1 0 = sin ⁡ 0 = 0

f 1 2 = sin ⁡ 2 a = 0

Onde o primeiro resultado é o equivalente à k = 0 e o segundo à k = 1 . Se sin ⁡ π k = 0 então:

sin ⁡ 0 = sin ⁡ π . 0 →   0 = 0

sin ⁡ 2 a = sin ⁡ π →   2 a = π → a = π 2

E pronto, achamos o a . Agora só escrever na função:

f 1 x = sin ⁡ π x 2

Passo 2

Gráfico de f 2

Beleza, temos uma semicircunferência em mãos e queremos uma expressão pra f 2 x . Pra começar a resolver esse cara aqui, vamos lembrar que a equação de uma circunferência é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Onde x 0 , y 0 é o ponto do centro da circunferência e r é o raio dela. Pelo gráfico, vemos que:

x 0 , y 0 = 1,0

r = 1

Sendo assim, a equação fica:

x - 1 2 + y 2 = 1

Rearranjando, temos:

y 2 = 1 - x - 1 2

y = ±   1 - x - 1 2

Como queremos só a parte de baixo da circunferência, vamos desconsiderar o sinal positivo, beleza? Fechamos então nossa equação da semicircunferência como:

f 2 x = - 1 - x - 1 2

Passo 3

Gráfico de f 3

Pra fechar a letra a falta só a f 3 , que vai ser nada mais nada menos que uma reta. Oras, retas também tem uma cara específica. A função f 3 x vai ser então algo assim:

f 3 x = m x + n

Falta a gente achar m e n . Pra isso, vamos ver os pontos em que a reta passa no gráfico:

0,0

1 , - 1

Opa, se passa pela origem, então:

f 3 0 = m . 0 + n = 0 → n = 0

E no segundo ponto vamos ter:

f 3 1 = m . 1 = - 1 → m = - 1

Show! Fechamos a última equação. A reta vai ser então:

f 3 x = - x

Passo 4

Escrever a área da região R

Vamos falar de áreas agora então. A primeira coisa a se fazer é dividir a região R em 4 regiões menores:

Agora, a gente tem que lembrar uma coisa muito importante: Não existem áreas negativas. Então se calcularmos as integrais das regiões azul e laranja, o resultado vai dar negativo! Pra gente não errar ai, vai ser importante então a gente adicionar um sinal de negativo pra essas áreas.

Então vamos lá. Pra área cinza e vermelha, temos a integral de f 1 x , que já dá uma área positiva! As áreas vão ser:

C i n z a =   ∫ 0 1 f 1 x   d x

V e r m e l h a =   ∫ 1 2 f 1 x   d x

Pra área azul, temos uma integral de f 3 x , que daria uma área negativa. Então vamos ter:

A z u l =   - ∫ 0 1 f 3 x   d x

E pra área laranja, temos uma integral de f 2 x , que também daria uma área negativa. Aplicando a mesma ideia, temos:

L a r a n j a =   - ∫ 1 2 f 2 x   d x

Mas perai, temos 4 integrais, a questão quer a área como soma de duas integrais! Não seja por isso! Veja que a área cinza e a azul tem os mesmos limites de integração! Então podemos fazer assim ó:

C i n z a + A z u l = ∫ 0 1 f 1 x   d x - ∫ 0 1 f 3 x   d x = ∫ 0 1 f 1 x - f 3 x   d x  

E pra área vermelha e laranja a ideia é a mesma. Vamos ter então:

V e r m e l h a + L a r a n j a = ∫ 1 2 f 1 x   d x - ∫ 1 2 f 2 x   d x = ∫ 1 2 f 1 x - f 2 x   d x  

Como a região R é a soma de todas as cores, temos:

R = C i n z a + V e r m e l h a + A z u l + L a r a n j a

R = C i n z a + A z u l + V e r m e l h a + L a r a n j a

R = ∫ 0 1 f 1 x - f 3 x   d x + ∫ 1 2 f 1 x - f 2 x   d x

Passo 5

Calcular a área da região R

Vamos calcular a área. Pra calcular, a gente poderia só realizar a integral do passo anterior, mas olha só com o que a gente teria que lidar:

R = ∫ 0 1 sin ⁡ π x 2 + x   d x + ∫ 1 2 sin ⁡ π x 2 + 1 - x - 1 2   d x

Não é lá uma integral muito bonita né? Pra facilitar, vamos usar a geometria, belê? Olha só:

Á r e a   a z u l = t r i â n g u l o

Á r e a   l a r a n j a = 1 4 d e   u m   c í r c u l o

Sendo assim, calculamos essas áreas através das fórmulas

Á r e a   a z u l = b h 2

Á r e a   l a r a n j a = 1 4 π r 2

Como a base do triângulo, a altura do triângulo e o raio da circunferência são coincidentemente iguais a 1 , temos que as áreas vão ser:

Á r e a   a z u l = 1 2

Á r e a   l a r a n j a = π 4

Agora falta calcular a área da região cinza e da vermelha. Essa não tem jeito, vai ter que ser via integral mesmo. Do passo anterior, temos:

C i n z a =   ∫ 0 1 f 1 x   d x

V e r m e l h a =   ∫ 1 2 f 1 x   d x

Sendo assim:

C i n z a + V e r m e l h a =   ∫ 0 1 f 1 x   d x + ∫ 1 2 f 1 x   d x = ∫ 0 2 f 1 x   d x

Calculamos então:

∫ 0 2 f 1 x   d x = ∫ 0 2 sin ⁡ π x 2 �� d x =   - 2 π cos ⁡ π x 2 x = 0 x = 2

∫ 0 2 f 1 x   d x = - 2 π cos ⁡ π - - - 2 π cos ⁡ 0 = 2 π + 2 π = 4 π

Somando todos os resultados, temos:

R = 1 2 + π 4 + 4 π

Resposta

  1. f 1 x = sin ⁡ π x 2 f 2 x = - 1 - x - 1 2 f 3 x = - x
  2. R = ∫ 0 1 f 1 x - f 3 x   d x + ∫ 1 2 f 1 x - f 2 x   d x
  3. R = 1 2 + π 4 + 4 π

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Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x ,     0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 ,     1 ≤ x ≤ 6