Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Seja Ω ( t ) a região do plano delimitada inferiormente pelo eixo x , superiormente pelo gráfico de y = f ( x ) , à esquerda pela reta x   =   0 e à direita pela reta x   =   t .

Se a area Ω t = t 2 e t 2 , entao f 2 =

  1. 20 e 4 .
  2. 22 e 4 .
  3. 24 e 4 .
  4. 16 e 4 .

Passo 1

Primeiro, vamos traçar pensar no esboço dessa tal região Ω .. Ela está limitada entre o eixo x e uma função desconhecida f x :

Agora, traçamos a reta x = 0 , uma reta qualquer x = t e limitamos a região entre elas:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que traçamos a região, vamos analisar como seria a integral que dá origem a sua área. Temos uma região entre as retas x = 0 e x = t . Esse será então o nosso intervalo de integração.

Temos a área limitada pela curva f x . Ou seja, a área da região Ω será:

A = ∫ 0 t f x d x = t 2 e t 2

Passo 3

Hmmm... Sabemos o quanto dá a integral, mas não sabemos qual é o integrando f x . Precisamos chegar nele de alguma forma...

Como a derivação é a operação inversa da integração, se derivarmos a integral, conseguimos chegar ao integrando. Então vamos lá, derivando dos dois lados.

d d t ∫ 0 t f x d x = d d t t 2 e t 2

Pelo Teorema fundamental do Cálculo, temos que:

d d t ∫ 0 t f x d x = f t

Pela regra do produto e cadeia:

t 2 e t 2 ' = 2 t e t 2 + t 2 ⋅ 2 t e t 2 = 2 t e t 2 1 + t 2

Igualando essa felicidade:

f t = 2 t e t 2 1 + t 2

Opah!

Chegamos na expressão de f t . Agora é só substituir no ponto desejado.

Passo 4

f 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ e 4 1 + 4 = 20 e 4

Letra a!

Resposta

f 2 = 20 e 4

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