Sejam as curvas r 1 = 2 cos ⁡ 3 θ e r 2 = 3 desenhadas em anexo. Formule, em cada caso, uma integral para calcular:

a) A área fora do círculo r 2 e interior à rosa.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da região polar dada fora do círculo r 2 = 3 e dentro da rosa r = 2 cos ⁡ 3 θ , mostradas no gráfico:

Em coordenadas polares a área entre essas regiões é dada pela integral:

A = 1 2 ∫ a b f θ 2 - g θ 2 d θ

Onde f θ = 3 e g θ = 2 cos ⁡ 3 θ . Pra descobrir o intervalo a ,   b , basta igualar as duas curvas pra descobrir onde elas se encontram. Em seguida, substituímos os dados na integral e calculamos a área.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar igualando as curvas pra encontrar os pontos de interseção:

2 cos ⁡ 3 θ = 3

cos ⁡ 3 θ = 3 2

Assim, 3 θ = π 6 ou 30 ° . E temos:

θ = π 18   o u   θ = 11 π 18

Integrando nesses intervalo, vamos obter:

A = 1 2 ∫ π / 18 11 π / 18 3 2 - 2 cos ⁡ 3 θ 2 d θ

= 1 2 ∫ π / 18 11 π / 18 3 - 4 cos 2 ⁡ 3 θ d θ

Separando os termos, temos:

1 2 ∫ π / 18 11 π / 18 3 d θ - 1 2 ∫ π / 18 11 π / 18 4 cos 2 ⁡ 3 θ d θ

Nós sabemos resolver a integral da constante ∫ 3   d θ = 3 θ , só falta aplicar os intervalos de integração. Mas antes vamos dá uma olhada na segunda integral:

∫ π / 18 11 π / 18 4 cos 2 ⁡ 3 θ d θ

Vamos reescrever usando a identidade 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ :

4 ∫ π / 18 11 π / 18 1 2 1 + cos ⁡ 6 θ d θ

2 ∫ π / 18 11 π / 18 d θ + 2 ∫ π / 18 11 π / 18 cos ⁡ ( 6 θ ) d θ

Resolvendo as integrais, temos:

2 θ π 18 11 π 18 + sin ⁡ 6 θ 6 π 18 11 π 18

Vamos juntar tudo na nossa integral original:

1 2 ∫ π / 18 11 π / 18 3 - 4 cos 2 ⁡ 3 θ d θ = 3 θ π 18 11 π 18 - 2 θ π 18 11 π 18 - sin ⁡ 6 θ 6 π 18 11 π 18

Aplicando os intervalos de integração:

3 11 π 18 - 2 11 π 18 - sin ⁡ 6 11 π 18 6 - 3 π 18 - 2 π 18 - sin ⁡ 6 π 18 6

E temos:

A = 5 3 π + 9 18 3

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 5 3 π + 9 18 3

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