Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Sejam x 1 < x 2 < x 3 as raízes da função f x = x 3 - 4 x .

Seja g a função quadrática cujo gráfico passa pelo ponto ( - 1 ,   1 ) e que possui raízes x 1 e x 2 .

Seja R a região delimitada pelos gráficos de f e g .

a) Determine a expressão da função g .

b) Determine o crescimento e o decrescimento de f .

c) Faça abaixo um esboço da região R . Indique explicitamente em seu desenho as coordenadas (abscissas e ordenadas) de todos os pontos de intersecção entre os gráficos de f e g .

d) Escreva a área de R como uma soma de duas integrais na variável x .

Passo 1

a) Antes de qualquer coisa, vamos achar as raízes da função f ( x ) , porque tendo x 1 e x 2 , conseguimos encontrar g ( x ) :P

x 3 - 4 x = 0

x . x 2 - 4 = 0

A primeira raíz, de cara, é x = 0 .

Resolvendo x 2 - 4 = 0 , temos:

x 2 = 4

x = ± 2

Então, as 3 raízes de f ( x ) são 0 ,   2 ,   - 2 .

Como x 1 < x 2 < x 3 , vamos organizar em ordem crescente:

x 1 = - 2

x 2 = 0

x 3 = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então as raízes da função g ( x ) , ou seja, onde essa função cruza o eixo x , são em x 1 = - 2 e em x 2 = 0 .

Podemos escrever uma função quadrática de forma fatorada:

y = a x - b . ( x - c )

Onde b e c são nossas raízes x 1 e x 2 e a vai definir se nossa parábola vai estar pra cima ou pra baixo. Então

g x = a . x - - 2 . ( x - 0 )

g x = a . x + 2 . x

Substituindo o ponto ( - 1 ,   1 ) , para encontrarmos a :

1 = a . - 1 + 2 . ( - 1 )

1 = - a

a = - 1

Então:

g x = - 1 . x + 2 . x

g x = - x 2 - 2 x

Passo 3

b) Para estudarmos crescimento e decrescimento de uma função, precisamos estudar o sinal da sua primeira derivada, certo?

f ' x = 3 x 2 - 4

Vamos encontrar as raízes de f ' ( x )

3 x 2 - 4 = 0

3 x 2 = 4

x = ± 2 3

Então os pontos x = 2 3 e x = - 2 3 são os pontos críticos da nossa função, ou seja, onde ela irá mudar seu crescimento/decrescimento.

Vamos analisar quando ela cresce e quando decresce.

Passo 4

Temos os seguintes intervalos para analisar o sinal de f ' ( x ) :

x < - 2 3

- 2 3 < x < 2 3

x > 2 3

Como f ' x = 3 x 2 - 4 tem a concavidade pra cima (pois a = 3 > 0 ), temos:

Onde a parábola estiver acima do eixo, nossa f ' ( x ) é positiva, e onde estiver abaixo, é negativa, ou seja:

Logo:

Os intervalos de crescimento de f ( x ) são ] - ∞ ;   - 2 3 ] ,   [ 2 3 ;   ∞ [ .

O intervalo de decrescimento de f ( x ) é - 2 3   ;   2 3 .

Passo 5

c) Primeiro vamos encontrar os pontos de intersecção de f ( x ) e g ( x ) , igualando as duas funções:

x 3 - 4 x = - x 2 - 2 x

x 3 + x 2 - 2 x = 0

x . x 2 + x - 2 = 0

Temos de cara a solução x ' = 0 , e aí resolvendo

x 2 + x - 2 = 0

∆ = 1 + 8 = 9

x ' ' = 1           x ' ' ' = - 2

Então, as intersecções das funções são nos pontos

1 ,   f 1 = ( 1 ,   - 3 )

- 2 ,   f - 2 = ( - 2 ,   0 )

0 ,   f 0 = 0 ,   0

Abaixo temos o esboço dos gráficos das funções f ( x ) (em verde) e g ( x ) (em roxo) com a região R e os pontos de intersecções marcados:

Passo 6

d) A área de R é a área de f x - g ( x ) entre - 2 e 0 e g x - f ( x ) entre 0 e 1 :

A R = ∫ - 2 0 x 3 - 4 x - - x 2 - 2 x d x + ∫ 0 1 - x 2 - 2 x - ( x 3 - 4 x )   d x

A R = ∫ - 2 0 x 3 + x 2 - 2 x   d x + ∫ 0 1 - x 3 - x 2 + 2 x   d x

Passo 7

e) Vamos calcular a integral do item anterior:

A R = ∫ - 2 0 x 3 + x 2 - 2 x   d x + ∫ 0 1 - x 3 - x 2 + 2 x   d x

Resolvendo as integrais:

A R = x 4 4 + x 3 3 - x 2 - 2 0 + - x 4 4 - x 3 3 + x 2 0 1

A R = - 4 + 8 3 + 4 + - 1 4 - 1 3 + 1

Então, a área de R é

A R = 37 12

Resposta

a) g x = - x 2 - 2 x

b) Os intervalos de crescimento de f ( x ) são ] - ∞ ;   - 2 3 ] ,   [ 2 3 ;   ∞ [ .

O intervalo de decrescimento de f ( x ) é - 2 3   ;   2 3 .

c)

d) A R = ∫ - 2 0 x 3 + x 2 - 2 x   d x + ∫ 0 1 - x 3 - x 2 + 2 x   d x

e) A R = 37 12

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