Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

O valor da integral

∫ - 3 3 s e n x 3 + 9 - x 2 d x

é:

a) 9 π 2

b) 2 π

c) 8 π

d) 25 π 2

e) 0

Passo 1

Uma propriedade de integral diz que a gente pode calcular a integral dessas funções e depois somar, assim:

∫ - 3 3 s e n x 3 + 9 - x 2 d x = ∫ - 3 3 s e n x 3 d x + ∫ - 3 3 9 - x 2 d x

Vamos avaliar como fica cada uma delas. Bora!

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Passo 2

A primeira é essa:

∫ - 3 3 s e n x 3 d x

Repara que o integrando dela é:

y = s e n x 3

E aí a gente pode lembrar que s e n x é ímpar em relação à origem e x 3 também. E então, podemos supor que essa função do integrando que é composta por duas funções ímpares, também é ímpar.

Mas no que isso nos ajuda? Cara, quando a gente faz a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em relação ao eixo y , ou seja, que tem a forma [ - n , n ] , como o nosso tem n = 3 :

[ - 3 , 3 ]

Essa integral vai dar zero! Então a gente pode dizer que

∫ - 3 3 s e n x 3 d x = 0

Graficamente, isso é o que está acontecendo de uma forma geral

A gente tem do lado esquerdo uma área “negativa”, e do direito uma área “positiva”. Como elas tem a mesma dimensão, quando somamos elas, achamos um resultado nulo.

Passo 3

Vamos avaliar a segunda

∫ - 3 3 9 - x 2 d x

A gente pode dizer que ela é a área entre a curva y = 9 - x 2 e o eixo x . E isso no intervalo - 3 , 3 . Cara, isso é metade de cima de uma circunferência de raio 3 .

Repara que podemos achar a equação da circunferência assim:

y = 9 - x 2 ∴ y 2 + x 2 = 3 2

Se a gente quiser desenhar essa semicircunferência no intervalo [ - 3 , 3 ] , ficamos assim:

E daí a gente tira que nossa integral é a área desse semicírculo. Como r = 3 :

∫ - 3 3 9 - x 2 d x = π r 2 2 = π ⋅ 9 2 = 9 π 2

Passo 4

Voltando para a nossa integral completinha:

∫ - 3 3 s e n x 3 + 9 - x 2 d x = ∫ - 3 3 s e n x 3 d x + ∫ - 3 3 9 - x 2 d x

Como

∫ - 3 3 s e n x 3 d x = 0

∫ - 3 3 9 - x 2 d x = 9 π 2

∫ - 3 3 s e n x 3 + 9 - x 2 d x = 9 π 2

Resposta

Letra a

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