Ache a região delimitada pela parábola y = x 2 a reta tangente a está parábola no ponto (1,1) e o eixo x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão

Antes de tudo, temos que a reta é tangente a parábola, assim:

y t a n g e n t e = f ' x x - 1 + f x

Se f x = x 2 → f ' x = 2 * x   ponto (1,1) então:

y t a n g e n t e = 2 * 1 x - 1 + 1 2

y t a n g e n t e = 2 x - 1 + 1 = 2 x - 1

E assim podemos fazer nosso gráfico e achar a área, certo?!

E devemos observar bem o gráfico para sabermos como proceder com a integração. Veja!

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir.

Fazendo o gráfico, temos:

E o ponto onde elas se interceptam é quando elas são iguais, ou seja:

x 2 = 2 x - 1 → x 2 - 2 x + 1 = 0 → x = 1

Assim temos que x varia de 0 até 1. MAAAS antes disso ele vai até 0.5, certo? Que é a interseção da reta com o eixo x. Desse modo, temos que dividir a região delimitada em duas partes, uma da parábola até o ponto ½, e depois da parábola com a reta até o ponto 1. Vamos lá?

Passo 3

A integral então é:

A = A 1 + A 2 = ∫ 0 1 2 x 2   d x + ∫ 1 2 1 x 2 - 2 x + 1   d x

A = x 3 3 0 1 2 + x 3 3 - x 2 + x 1 2 1 = 1 12

Resposta

A = 1 12

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