Esboce a região 0 ≤ y ≤ 2 x 2 + 9 . Calcule a área da região

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

Primeiro vamos realmente esboçar essa região que ele pede, já é?!

Os limites são

y = 0

y = 2 x 2 + 9

Uma forma simples de fazer isso é pegarmos a equação y = 2 x 2 + 9 e ver como essa função fica pra vários valores de x

Passo 2

Note que a área que queremos é toda essa que estará abaixo da curva azul, show?

E como fazemos isso? A partir de integração imprópria!!

E precisamos então ter os valores dos limites de integração, um deles é dado já que é zero! Mas o outro precisamos avaliar quando fizermos x → ∞ .

Note que a função do limite superior chega numa assíntota conforme x → ∞

Só vermos que:

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 + 9 = 0

Ou seja, temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

Passo 3

Com os limites dados, vamos fazer a integral imprópria!!

A = ∫ 0 ∞ 2 x 2 + 9 = 2 ∫ 0 ∝ 1 x 2 + 9 d x

Podemos aplicar integração por frações parciais:

∫ 0 ∝ 1 x 2 + 9 d x = ∫ 0 ∝ 1 x - 3 d x + ∫ 0 ∝ 1 x + 3 d x

= ln ⁡ x - 3 ​ 0 ∞ + ln ⁡ x + 3 ​ 0 ∞ = ∞

Logo,

A = ∞

Uffa!! Deu trabalho, mas valeu a pena né?

Te espero na próxima questão!!

Resposta

A = ∞

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