Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2018.2, Questão Q01IV

Q01IV) Responda às perguntas abaixo no espaço adequado no seu caderno de respostas. As soluções devem ser sucintas e a resposta final deve estar destacada do restante da solução.

  1. Seja f x = ∫ 1 3 x 2 sin ⁡ t t d t . Quanto vale lim x → 0 ⁡ f ' x x ?

Passo 1

Sabemos uma expressão pra f x e queremos sua derivada porque é ela que está dentro do limite. Então o único mistério vai ser: como derivar f x ? Bem, já que ele é definido por uma integral, não tem jeito, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo:

f x = ∫ a h x g t   d t

f ' x = g h x ∙ h ' x

Aplicando então o TFC temos:

f x = ∫ 1 3 x 2 sin ⁡ t t d t

f ' x = sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 ∙ 3 x 2 '

f ' x = sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 ∙ 6 x

Aplicando agora o limite:

lim x → 0 ⁡ f ' x x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 ∙ 6 x x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 6 x x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 6

Como apareceu um limite fundamental trigonométrico nessa manipulação e o valor dele é aquele diretão que é só substituir por 1 , fechamos então nossas contas!

lim x → 0 ⁡ f ' x x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 6 = 1 ∙ 6 = 6

Escrevendo de forma resumida:

f ' x = 6 x sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 →   lim x → 0 ⁡ f ' x x = lim x → 0 ⁡ 6 x ∙ sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 ∙ x = lim x → 0 ⁡ 6 ∙ sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 = ⏞ y = 3 x 2 lim y → 0 ⁡ 6 ∙ sin ⁡ y y = 6

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Resposta

f ' x = 6 x sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 →   lim x → 0 ⁡ f ' x x = lim x → 0 ⁡ 6 x ∙ sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 ∙ x = lim x → 0 ⁡ 6 ∙ sin ⁡ 3 x 2 3 x 2 = ⏞ y = 3 x 2 lim y → 0 ⁡ 6 ∙ sin ⁡ y y = 6

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