Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G1 - 2016.1, Questão 1

Seja

f x = 2 x 2 + 1 3 t + sen π t d t + π

a Calcule f ' x

b Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em 1 , f 1

Passo 1

a Derivando, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo:

f ' x = 2 x 2 + 1 3 t + sen π t d t + π '

= - 3 2 x 2 + 1 t + sen π t d t ' + π '

= - 2 x 2 + 1 + sen π 2 x 2 + 1 2 x 2 + 1 '

= - 4 x 2 x 2 + 1 + sen π 2 x 2 + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Começamos achando f 1 :

f 1 = 2 1 2 + 1 3 t + sen π t d t + π

= 2 + 1 3 t + sen π t d t + π

= 3 3 t + sen π t d t + π

Quando uma integral tem os limites de integração iguais, como é o caso, ela se anula. Assim,

f 1 = 0 + π = π

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente a 1 , f 1 = 1 , π será dado por f ' 1 :

f ' 1 = - 4 1 2 1 2 + 1 + sen π 2 1 2 + 1

= - 4 2 + 1 + sen 3 π

= - 4 3

Logo, se a reta for modelada por y = a x + b :

a = - 4 3

Passando no ponto 1 , π :

π = - 4 3 1 + b

b = π + 4 3

Logo, a reta será dada por:

y = - 4 3 x + π + 4 3

Resposta

a   f ' x = - 4 x 2 x 2 + 1 + sen π 2 x 2 + 1

b   y = - 4 3 x + π + 4 3

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