Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2013.1 - 1

Seja

f x = x 2 1 1 + t 4 d t

É dado que

1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

  1. Determine f ' 1
  2. Ache a área do triangulo limitado pelos eixos e pela reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 .

Passo 1

a )

Queremos achar a derivada de uma função em x e essa função é definida como uma integral e a expressão dentro da integral tem como variável t . Sinto cheiro de Teorema Fundamental do Cálculo. Melhor ainda: o que está no limite da integral é x simplesmente e não uma função de x , o que vai nos poupar a fadiga de usar a regra da cadeia (todos comemoram \o/).

Maaas... observe que caímos naquele caso em que o x está no limite inferior e a constante no limite superior. Eles fazem isso achando que você vai ficar sem saber o que fazer. Mas, como você é esperto(a), já tá sabendo que nesse caso é só usar aquela propriedade de troca de limites esperta para inverter os limites.

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Passo 2

Utilizando a propriedade:

f x = x 2 1 1 + t 4 d t = - 2 x 1 1 + t 4 d t

f ' ( x ) = - 1 1 + x 4

Passo 3

O que ele pede é f ' 1 e não f ' ( x ) . Observe que f ' x é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de x em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir x pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo x = 1 :

f ' 1 = - 1 1 + 1 4 = - 1 2

Passo 4

b )

Para acharmos essa área, primeiro temos que achar a reta tangente. A equação de uma reta é dada por y = a x + b , sendo a   o coeficiente angular da reta e b o coeficiente Linear da reta.

Como queremos a reta tangente à função f x   em x = 1 , o coeficiente angular da reta tangente será dado pela derivada da função em x = 1 , ou seja, f ' ( 1 ) . Já calculamos f ' ( 1 ) no item a ) .

Logo:

a = f ' 1 =   - 1 2

Ok. Já temos o coeficiente angular, mas não linear. E agora? Para definir uma reta, precisamos de dois pontos, certo?

Perceba que ele deu a seguinte expressão no enunciado:

1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

Agora compare com a expressão de f ( x ) :

f x = x 2 1 1 + t 4 d t

Percebe que a função de t dentro da integral não mudou? A única coisa que mudou foi que o x que aparecia no limite inferior da integral virou 1 . Isso significa que esse é o valor de f ( x ) no ponto x = 1 , ou seja, temos f 1 .

Então, para descobrirmos o valor do coeficiente linear da reta tangente, basta substituirmos x = 1 e o valor correspondente f ( 1 ) .

y = a   x + b

a = - 1 2

Para x = 1 :

f 1 =   - 1 2   1 + b

Da expressão dada no enunciado:

f 1 = 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

Substituindo:

0,2 =   - 0,5 + b

b = 0,7

Portanto, a equação da reta tangente a f x em x = 1 é:

y =   - 1 2 x + 0,7

Passo 5

Agora que já temos a equação da reta tangente, podemos traçar o gráfico para calcular a área:

Temos uma região que corresponde a um triângulo retângulo. Já sabemos que a área de um triângulo é dada por:

A = b a s e   .   a l t u r a 2

A base é a distância do ponto onde a reta corta o eixo x até o ponto ( 0,0 ) . Por isso, basta descobrimos onde a reta corta o eixo x . Ela corta o eixo x quando y = 0 , concorda?

Então basta substituirmos y = 0 na equação da reta e acharmos o valor de x correspondente, beleza?

Temos   y = - 1 2 x + 0,7

Fazendo y = 0 :

0 =   - 1 2 x + 0,7 x = 1,4

Já a altura será 0,7 , que é o ponto onde a reta tangente corta o eixo y . Portanto, a área pedida será:

A = 1,4 .   0,7 2

A = 0,49 u . a .

Onde “u.a.” significa unidade de área.

Resposta

  1. f ' 1 = - 1 2
  2. A = 0,49 u . a .

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