Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

USP, Cálculo 1, P3 - 2014, Questão 3

Seja

F x = 0 x x + t 2 e t 2 d t ,       x > 0

Determine F ' ( x ) e F ' ' ( x ) .

Passo 1

Vou começar abrindo essa função em duas:

F x = 0 x x + t 2 e t 2 d t = 0 x x e t 2 d t + 0 x t 2 e t 2 d t

No primeiro termo podemos botar o x para fora e derivaremos esse termo usando a Regra do Produto junto com o TFC. Para o segundo termo basta aplicar o Teorema Fundamental de primeira e pronto:

F ' x = x 0 x e t 2 d t ' + 0 x t 2 e t 2 d t '

= x ' 0 x e t 2 d t + x 0 x e t 2 d t ' + 0 x t 2 e t 2 d t '

Ao derivarmos os termos com integral em t devemos substituir os t ’s por x , retirar a integral e adicionar, pela Regra da Cadeia, a derivada de x :

F ' x = x ' 0 x e t 2 d t + x 0 x e t 2 d t ' + 0 x t 2 e t 2 d t '

= 0 x e t 2 d t + x e x 2 x ' + x 2 e x 2 x '

0 x e t 2 d t + x e x 2 x + ( x ) e x 2 x = 0 x e t 2 d t + e x ( x )

Para calcular F ' ' x basta que calculemos a derivada do primeiro termo pelo TFC novamente e a do segundo termo normalmente, usando a Regra do Produto novamente:

F ' ' x = 0 x e t 2 d t ' + e x x ' = e x 2 x ' + e x ' x + e x x '

= e x 2 x + e x x + e x 2 x = e x x + e x x = e x x ( 1 + x )

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Resposta

F ' x = 0 x e t 2 d t + e x ( x )

F ' ' x = e x x ( 1 + x )

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