Determine o volume dos sólidos S, usando integração.

  1. Um cone circular reto de altura h e base r

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão

A imagem sobre a qual queremos o volume é:

Sabemos que a formula para encontrarmos o volume é:

V = ∫ a b A x d x

Também sabemos que:

A = π   r x 2

Onde temos que encontrar alguma função de r que esteja em função de x. Vamos lá?!

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir.

Podemos fazer:

Onde:

h - x r = h R → r = R h h - x

Assim:

A ( x ) = π r 2 = π R h h - x 2

Passo 3

Assim, temos x varia de 0 até h. Logo:

V = ∫ 0 h π R 2 h 2 h - x 2 d x

V = π R 2 h 2 ∫ 0 h h 2 - 2 h x + x 2 d x

V = π R 2 h 2 h 2 x - h x 2 + x 3 3 0 h

V = π R 2 h 2 h 3 - h 3 + h 3 3

V = π R 2 h 2 h 3 3 = π R 2 3 h

V = π R 2 3 h

Onde R é r da base dado, só trocarmos para que facilitasse o entendimento da explicação.

Resposta

V = π R 2 3 h

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d