Encontre o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico x 2 4 + y 2 9 + z = 1 e acima do retângulo R : - 1,1 × [ - 2,2 ]

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa questão! Vamos lá?

O problema nos deu algumas equações

x 2 4 + y 2 9 + z = 1  

E o retângulo

- 1 ≤ x ≤ 1

- 2 ≤ y ≤ 2

E pediu para descobrirmos o volume limitado por elas! Vom, o volume de algum sólido pode ser dado por uma integral tripla:

∭ V d V

Onde d V é o diferencial de volume. No nosso caso a ordem importa! Precisamos que seja integrado z antes, pois z é uma função de x e y ! Então essa integração precisa vir antes! Então podemos ter assim

d V = d z   d y   d x

Você pode tentar outra ordem (sempre fazendo z antes) e verificar que temos o mesmo resultado!

E os limites de integração? Olhando as equações dá pra ver que os limites ficam assim

- 1 ≤ x ≤ 1

- 2 ≤ y ≤ 2

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 4 - y 2 9

Beleza? Agora é só montar a integral e #partiu resolver!

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Agora vamos montar a integral! Novo volume é

∭ V d V

Os limites de integração

- 1 ≤ x ≤ 1

- 2 ≤ y ≤ 2

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 4 - y 2 9

E o diferencial de volume

d V = d z   d y   d x

Agora vamos juntar

∫ - 1 1 ∫ - 2 2 ∫ 0 1 - x 2 4 - y 2 9 d z   d y   d x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora é #partiu resolver, primeiro em z :

∫ - 1 1 ∫ - 2 2 ∫ 0 1 - x 2 4 - y 2 9 d z   d y   d x = ∫ - 1 1 ∫ - 2 2 z 0 1 - x 2 4 - y 2 9   d y d x = ∫ - 1 1 ∫ - 2 2 1 - x 2 4 - y 2 9   d y   d x

Beleza? Agora vamos integrar em y :

= ∫ - 1 1 y - x 2 y 4 - y 3 27 - 2 2 d x = ∫ - 1 1 2 - 2 x 2 4 - 8 27 - - 2 - x 2 - 2 4 - - 2 3 27 d x

Vamos simplificar e ficar com uma integral simples em x :

= ∫ - 1 1 4 - x 2 - 16 27 d x

E por fim integrar em x

= 4 x - x 3 3 - 16 x 27 - 1 1

= 4 - 1 3 - 16 27 - - 4 + 1 3 + 16 27 = 216 - 18 - 32 27 = 166 27

Pronto! Essa é nossa resposta!

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

166 27

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Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d