Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

Elaboração Própria

Dexter estava tomando sorvete quando de repente sentiu uma vontade enorme de saber o volume da casquinha. Tendo ela 10   c m de altura e sendo composta por dois cone, um exterior com 3   c m de raio e outro interior com 2,5   c m de raio inscrito ao primeiro, ache o volume pro Dexter enquanto ele come.

Dica: o interior do cone menor é oco

Passo 1

O primeiro passo é colocar em 3D essa brincadeira pra entender melhor:

Ok, tá, isso não ajuda muito. Talvez com eixos fique melhor:

Beleza, já que o interior do cone menor é oco, a gente pode entender o volume da casquinha como o volume do cone maior menos o volume do cone menor. Vamos ter então:

V = V m a i o r - V m e n o r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, como são dois cones, vamos primeiro fazer de forma literal e depois trocar os valores, ok? Note o seguinte, se fizermos cortes transversais perpendiculares ao eixo Z , acharemos sempre fatias circulares. Saca só essa fatia feito em determinada altura z :

Como as fatias são circulares, a gente tem uma área dada por:

A = π r 2

E somando os infinitos círculos que existem dentro desse cone pra diferentes alturas z que possamos escolher pra fazer a fatia, temos:

V = ∫ a b A   d z

Alguma simplificação a gente já consegue de cara fazer. Veja só, a pontinha do cone está na origem e o cone acaba exatamente numa altura igual sua própria altura h . Pô, então sabemos os limites de integração:

V = ∫ 0 h A   d z

E saca só, como fatias em alturas z diferentes dão círculos com áreas diferentes, temos então:

V = ∫ 0 h A z   d z = ∫ 0 h π r z 2   d z

Pra fechar com chave de ouro então, falta só modelar r z . Bora lá!

Passo 3

Nesse passo, vamos olhar de novo a mesma figura com mais calma:

Opa, temos dois triângulos semelhantes ai em! Fazendo semelhança de triângulos, tiramos:

z h = r R

E logo:

r z = z ∙ R h

O volume fica:

V = ∫ 0 h π r z 2   d z = ∫ 0 h π z ∙ R h 2   d z

V = π ∙ R 2 h 2 ∫ 0 h z 2   d z = π ∙ R 2 h 2 ∙ z 3 3 z = 0 z = h

V = π ∙ R 2 h 2 ∙ h 3 3 - 0 3 3 = π ∙ R 2 h 2 ∙ h 3 3

No final das contas, vamos ter: V = π ∙ R 2 ∙ h 3

Passo 4

Agora que achamos o volume de um cone de forma literal, como temos dois cones, basta aplicar! Pro cone maior, o raio era 3   c m e a altura era 10   c m . Logo:

V m a i o r = π ∙ 3 2 ∙ 10 3 = 90 π 3

E o cone menor tem a mesma altura em! O que muda é o raio que é de 2,5   c m . Seu volume vai ser:

V m e n o r = π ∙ 2,5 2 ∙ 10 3 = 62,5 π 3

E finalmente podemos dizer pro Dexter o volume do cone, que vai ser:

V = 90 π 3 - 62,5 π 3

V = 27 , 5 π 3   c m 3

Resposta

V = 27,5 π 3   c m 3

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