Encontre o volume do solido obtido pela rotação da região delimitada por baixo pelo gráfico de y = x 2 e por cima pela curva x 2 + y 2 = 1 ,   c o m   y ≥ 0 , em torno do eixo x . Esboce a região, o sólido obtido e uma ‘seção’ típica

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa curva

y = x 2

y = 1 - x 2

E pediu o volume do sólido formado pela rotação dela em torno do eixo x

Pergunta de milhões: Como achar esse volume?

O volume de rotação em torno do eixo x é

V = π   ∫ a b f x 2 - g x 2 d x  

Onde f é a função que está mais acima e g a mais abaixo. E a , b são os limites de integração do sólido. Ou onde as curvas se encontram!

Belê?

A ideia é fazer um esboço, ver os limites, tascar na fórmula e calcular a integral!

Então é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

As curvas são

y = x 2

y = 1 - x 2

y = 0

Um esboço fica assim

Em cima temos sempre y = 1 - x 2 enquanto embaixo temos sempre y = x 2 . A região a ser revolucionada está hachurada!

E o integrando

1 - x 2 2 - x 2 2 = 1 - x 2 - x 4

E os limites são de x = 0 até o ponto de encontro

1 - x 2 = x 2

x 4 + x 2 - 1 = 0

x = + - 1 + 5 2

Beleza?

Assim nossas integrais são

π ∫ 0 - 1 + 5 2 1 - x 2 - x 4 d x

Agora nossa missão é resolver a integral!

Passo 3

Calculando o volume temos

V = π ∫ 0 - 1 + 5 2 1 - x 2 - x 4 d x

V = π x - x 3 3 - x 5 5 0 - 1 + 5 2

= π - 1 + 5 2 - 1 3 - 1 + 5 2 3 - 1 5 - 1 + 5 2 5

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

π - 1 + 5 2 - 1 3 - 1 + 5 2 3 - 1 5 - 1 + 5 2 5

Exercícios de Livros Relacionados

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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d