Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:

d) S é limitado pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e x + y + z = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que é limitado pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e x + y + z = 1 . Os planos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 são os nossos planos coordenados no espaço tridimensional, então vamos plotar aplenas o plano x + y + z = 1 .

Olhando o gráfico, a gente consegue perceber que z varia de 0 até o plano. Pra descobrir como x e y estão variando, vamos precisar plotar a projeção desse gráfico no plano x y . Fazemos isso zerando z na equação x + y + z = 1 . Assim, a gente consegue encontrar os limites de integração do nosso volume na equação:

V = ∫ a b ∫ c d ∫ e f d z d y d x

Vamos lá!

Passo 2

Nós vimos pelo gráfico que z vai de zero até o plano. Então, temos:

0 ≤ z ≤ 1 - x - y

Fazendo z = 0 na equação do plano, temos:

x + y = 1

y = 1 - x

Plotando isso no plano x y , vamos obter a reta:

Agora olhando nesse gráfico, repare que o x vai de 0 até 1 . E o nosso y varia de 0 até a reta. Então, temos:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1 - x

Passo 3

Agora que já temos nossos intervalos, é só montar a integral de volume:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y d z d y d x

Integrando primeiro em relação a z , temos:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x z 0 1 - x - y     d y d x

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - y   d y d x

Integrando agora em relação a y :

V = ∫ 0 1 y - x y - y 2 2 0 1 - x d x

Aplicando os limites de integração em y :

V = ∫ 0 1 1 - x - x ( 1 - x ) - 1 - x 2 2   d x

V = ∫ 0 1 1 - 2 x + x 2 - 1 2 + x - x 2 2   d x

V = ∫ 0 1 x 2 2 - x + 1 2   d x

Por fim, integrando em relação x , vamos obter:

V = x 3 6 - x 2 2 + x 2 0 1

Aplicando os limites em x e somando as frações:

V = 1 6 - 1 2 + 1 2

V = 1 6

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 1 6

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d