Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 e z = 1 - x 2 + y 2 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado pede para calcularmos o volume delimitado pelas superfícies

z = x 2 + y 2 e z = 1 - x 2 + y 2

para isso vamos ter que calcular a seguinte integração

V = ∫ ∫ ∫ V ' d V '

em que V ' delimita a nossa região! Vamos tentar visualizá-la e encontrar os limites de integração!

Passo 2

A região é dada por

limitada superiormente pelo cone z = 1 - x 2 + y 2   e inferiormente pelo parabolóide z = x 2 + y 2 . Esse sólido tem uma simetria cilíndrica, então por simplicidade, vamos usar as coordenadas cilíndricas da forma

x =   r   c o s ( ϕ )

y =   r   s e n ( ϕ )

z = z

de forma que nossas superfícies possam ser escritas como z = 1 - r e z = r 2 . O elemento de volume nestas coordenadas é dado por d V ' = r d r d ϕ d z . Vamos usar tudo isso, para escrever a nossa integral! Saca só!

Passo 3

A integral de volume tomará então o formato

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ r 2 1 - r r d z d r d ϕ

note que estou integrando primeiro na coordenada z desde o parabolóide até o cone, e também que devido a simetria do problema, temos que o ângulo polar ϕ está dentro do intervalo 0 a 2 π . Mas, ainda precisamos determinar o limite de integração para r . Como a origem pertence a nossa região, temos que o raio inicial é r = 0 , o raio final pode ser obtido fazendo a interseção das duas superfícies

1 - r = r 2

que resulta na seguinte equação de segundo grau

r 2 + r - 1 = 0

usando Bhaskara, obtemos as raízes

r ± = - 1 ± 1 2 - 4 ( 1 ) ( - 1 ) 2 ( 1 ) = - 1 ± 5 2

pela definição da coordenada radial em coordenadas cilíndricas vamos usar a raíz positiva, desta forma, a nossa integração se torna

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 ( - 1 + 5 ) / 2 ∫ r 2 1 - r r d z d r d ϕ

Vamos começar as integrações agora! Bora lá!

Passo 4

Integrando primeiramente em z , temos que

∫ r 2 1 - r d z = z | r 2 1 - r = 1 - r - r 2

Portanto, a integral de volume se torna

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 ( - 1 + 5 ) / 2 ∫ r 2 1 - r r d z d r d ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 0 ( - 1 + 5 ) / 2 r ( 1 - r - r 2 ) d r d ϕ

distribuindo o r , temos que

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 ( - 1 + 5 ) / 2 [ r - r 2 - r 3 ] d r d ϕ

Vamos continuar no próximo passo com as próximas integrações!

Passo 5

Para realizar as integrações em r , vamos separar a nossa integral em três, da seguinte maneira

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 ( - 1 + 5 ) / 2 [ r - r 2 - r 3 ] d r d ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 0 ( - 1 + 5 ) / 2 r   d r d ϕ - ∫ 0 2 π ∫ 0 ( - 1 + 5 ) / 2 r 2 d r d ϕ - ∫ 0 2 π ∫ 0 ( - 1 + 5 ) / 2 r 3 d r d ϕ

todas as integrais em r podem ser resolvidas usando a fórmula

∫ a b r n d r = r n + 1 n + 1 | a b

portanto, obtemos três resultados

∫ 0 ( - 1 + 5 ) / 2 r   d r = 1 2 r 2 | 0 ( - 1 + 5 ) / 2 = ( - 1 + 5 ) 2 8

∫ 0 ( - 1 + 5 ) / 2 r 2   d r = 1 3 r 3 | 0 ( - 1 + 5 ) / 2 = ( - 1 + 5 ) 3 24

∫ 0 ( - 1 + 5 ) / 2 r 3   d r = 1 4 r 4 | 0 ( - 1 + 5 ) / 2 = ( - 1 + 5 ) 4 64

Ou seja, nossa integral de volume se torna

V = ∫ 0 2 π [ ( - 1 + 5 ) 2 8 - ( - 1 + 5 ) 3 24 - ( - 1 + 5 ) 4 64 ] d ϕ

A integral em ϕ é bastante direta, temos que

∫ 0 2 π d ϕ = ϕ | 0 2 π = 2 π

Ou seja, o nosso trabalho é simplificar o seguinte resultado

V = π [ ( - 1 + 5 ) 2 4 - ( - 1 + 5 ) 3 12 - ( - 1 + 5 ) 4 32 ]

Bora lá!

Passo 6

Vamos primeiro evidenciar ( - 1 + 5 ) 2 / 4 , para obter

V = π ( - 1 + 5 ) 2 4 [ 1 - ( - 1 + 5 ) 3 - ( - 1 + 5 ) 2 8 ]

como temos que

( - 1 + 5 ) 2 = 1 - 2 5 + 5 = 6 - 2 5

podemos escrever que

V = π ( - 1 + 5 ) 2 4 [ 1 - ( - 1 + 5 ) 3 - 3 - 5 4 ]

Fazendo um MMC, temos que

V = π ( 6 - 2 5 ) 48 [ 12 - 4 ( - 1 + 5 ) - 3 ( 3 - 5 ) ] = π ( 6 - 2 5 ) 48 [ 7 - 5 ]

Fazendo agora o produto

( 6 - 2 5 ) ( [ 7 - 5 ) = 42 - 6 5 - 14 5 + 10 = 52 - 20 5

de forma que temos finalmente

V = π 12 [ 13 - 5 5 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = π 12 [ 13 - 5 5 ]

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