Formule a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas y = 2 x 2 , x = 1 , x = 2 e y = 2 ao redor do eixo apontado:

d) ao redor do eixo y = 8

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido obtido ao girar a região de interseção das curvas ao redor de um eixo paralelo ao eixo x , que é o eixo y = 8 , seu volume é dado pela equação:

V = ∫ a b R 2 d x = ∫ a b π f x - L 2 d x

O raio agora é dado por:

R x = 2 x 2 - 8

Então, vamos lá montar nossa integral!

Passo 2

Para as curvas dadas, nossa região que vai rotacionar é essa aqui:

Como ela tá variando de 0 a 2 , temos:

V = ∫ 0 2 π 2 x 2 - 8 2 d x

Elevando ao quadrado:

V = π ∫ 0 2 4 x 4 - 32 x 2 + 64 d x

Calculando a integral:

V = π 4 x 5 5 - 32 x 3 3 + 64 x 0 2

Aplicando os limites de integração, temos:

V = π 4 ( 2 ) 5 5 - 32 2 3 3 + 64 ( 2 ) - 4 0 5 5 + 32 0 3 3 - 64 ( 0 )

V = π 128 5 - 256 3 + 128

Logo,

V = 1024 15 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 1024 15 π

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d