Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:

b) S é limitado superiormente pelo paraboloide z = x y , inferiormente pelo plano z = 0 e sua projeção no plano x y é o triângulo de vértices ( 1 ,   1 ) , 4 ,   1 e ( 1 ,   2 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que é limitado superiormente pelo paraboloide z = x y e inferiormente pelo plano z = 0 . Plotando esse paraboloide hiperbólico no espaço tridimensional, ficaria mais ou menos assim:

E aí, o enunciado nos diz que a projeção desse sólido no plano x y é um triângulo de vértices ( 1 ,   1 ) , 4 ,   1 e ( 1 ,   2 ) :

Então, a gente vai ter que prestar atenção em como as variáveis x , y e z estão variando, ou seja, em como elas são limitadas nessa região (na projeção e no espaço tridimensional). Com isso em mente, a gente consegue encontrar os limites de integração do nosso volume na equação:

V = ∫ a b ∫ c d ∫ e f d z d y d x

Vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos diz que nossa região é limitada por z = 0 e z = x y (que é o paraboloide ali no gráfico). Então, temos:

0 ≤ z ≤ x y

Mas e como tá variando x e y ? Repare que ele já nos deu uma projeção no plano x y , que é o triângulo de vértices ( 1 ,   1 ) , 4 ,   1 e ( 1 ,   2 ) . Plotando esses pontos no plano x y , a gente obteve o triângulo do passo 1 . Repare que naquele gráfico, o x tá indo de x = 1 até x = 4 . Mas o y tá variando de 1 até a reta em vermelho:

E nós precisamos descobrir a equação dessa reta, para descobrir o limite superior de y . Usando a equação da reta:

y = a x + b

E os pontos ( 1 ,   2 ) e ( 4 ,   1 ) , construímos o sistema:

2 = a + b 1 = 4 a + b

Resolvendo, obtemos a = - 1 3 e b = 7 3 . Assim, nossa equação é:

y = - 1 3 x + 7 3

E temos nossos intervalos:

1 ≤ x ≤ 4

1 ≤ y ≤ - 1 3 x + 7 3

Passo 3

Agora que já temos nossos intervalos, é só montar a integral de volume:

V = ∫ 1 4 ∫ 1 - 1 3 x + 7 3 ∫ 0 x y d z d y d x

Integrando primeiro em relação a z , temos:

V = ∫ 1 4 ∫ 1 - 1 3 x + 7 3 z 0 x y     d y d x

V = ∫ 1 4 ∫ 1 - 1 3 x + 7 3 x y   d y d x

Integrando agora em relação a y :

V = ∫ 1 4 x y 2 2 1 - 1 3 x + 7 3 d x

Aplicando os limites de integração em y :

V = ∫ 1 4 x 2 - 1 3 x + 7 3 2 - x 2   d x

V = ∫ 1 4 x 2 1 9 x 2 + 14 9 x + 49 9 - x 2   d x

V = ∫ 1 4 1 18 x 3 + 14 18 x 2 + 4 9 18 x - x 2   d x

Por fim, integrando em relação x , vamos obter:

V = 1 18 x 4 4 - 14 x 3 3 + 49 x 2 2 - x 2 4 1 4

Aplicando os limites em x e somando as frações:

V = ( 4 ) 4 72 - 14 4 3 54 + 49 4 2 36 - 4 2 4 - ( 1 ) 4 72 - 14 ( 1 ) 3 54 + 49 1 2 36 - 1 2 4

V = 255 72 - 882 54 + 735 36 - 15 4

V = 31 8

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 31 8

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d