Formule a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas y = 2 x 2 , x = 1 , x = 2 e y = 2 ao redor do eixo apontado:

a) ao redor do eixo x = 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido obtido ao girar a região de interseção das curvas ao redor do eixo x = 2 . Como nossa região gira em torno de um eixo paralelo ao eixo y , pelo método das cascas cilíndricas, seu volume é dado pela equação:

V = ∫ a b 2 π r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d x

O raio vai ser a distância de 2 à x , porque é a distância da reta que estamos rodando até a função. Então,

r = 2 - x

E a altura vai ser a próxima função f ( x ) :

f x = 2 x 2

Então, vamos lá montar nossa integral!

Passo 2

Para as curvas dadas, nossa região que vai rotacionar é essa aqui:

Como ela tá variando de 0 a 2 , temos:

V = ∫ 0 2 2 π 2 - x 2 x 2 d x

V = 2 π ∫ 0 2 4 x 2 - 2 x 3 d x

Calculando a integral:

V = 2 π 4 x 3 3 - 2 x 4 4 0 2

Aplicando os limites de integração, temos:

V = 2 π 4 ( 2 ) 3 3 - 2 2 4 4 - 4 0 3 3 + 2 0 4 4

V = 2 π 32 3 - 32 4 = 462 12 π

Logo,

V = 38,5 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 38,5 π

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d