Determine o volume da região E limitada pelos cilindros x 2 + y 2 = 1 ,   x 2 + y 2 = 2 e pelos cones z = - x 2 + y 2 , z = x 2 + y 2

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?]

O problema nos pede para calcularmos o volume. Como é esse volume?

E bom, Mogli... Como eu resolvo esse abacaxi?

Primeiramente, sabemos que a integral de volume é dada por:

V = ∫ V d V     o u     V = ∫ d x   d y   d z

Isso em coordenadas cartesianas, mas claro que isso pode variar de acordo com a simetria do objeto/volume. E também a ordem de integração pode mudar, poderia ser por exemplo d y   d z   d x ou outras combinações

O Lance aqui é: Qual a melhor maneira de olhar, ou melhor, qual o melhor ponto de vista para interpretarmos esse problema?

Um outro ponto de vista pode nos ajudar a resolver o mesmo problema por diferentes formas

E bom... veja que aqui nós temos um problema que envolve objetos cilíndricos. O que é melhor para descrevê-los do que as próprias coordenadas cilíndricas?

E com isto, é por elas que vamos resolver esse problema, com as coordenadas cilíndricas!!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Sendo assim, nós temos:

- x 2 + y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2

E ainda, as coordenadas cilíndricas são:

Agora basta-nos olhar para o mesmo objeto e ver como que são essas coordenadas.

Passo 3

Então vamos lá, vemos que:

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2

Mas temos pelas coordenadas cilíndricas que:

x 2 + y 2 = r 2

Assim:

1 ≤ r ≤ 2

Mas Mogli, se é r 2 não deveríamos ter r = ± 1   e ± 2 ? Não! Lembra que r é o modulo da distância do raio, nesse caso não tem como r < 0 .

Também vemos que:

- x 2 + y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Mas de novo x 2 + y 2 = r , logo:

- r ≤ z ≤ r

E por fim, temos que θ é o ângulo de giro. Por ser um círculo completo no cilindro, vemos que:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Resumindo tudo que fizemos aqui:

1 ≤ r ≤ 2

- r ≤ z ≤ r

0 ≤ θ ≤ 2 π

Mas a vida seria muito doce se pudéssemos apenas trocar o ponto de vista de objeto assim facilmente. Infelizmente não é! Existe um termo de compensação chamado de Jacobiano. Sempre que voc�� realizar uma troca de coordenadas precisa saber como que esse termo de compensação é nessa coordenada.

Para o caso das coordenadas cilíndricas:

E agora sim, temos tudo que precisamos pra nossa integral!

Passo 4

Sendo assim:

∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ - r r r   d V

Como é a variável de integração d V ? É d θ   d z   d r ? É d r   d z   θ ? Veja que no nosso caso nada depende de θ , logo a sua ordem de integração não nos interessa, pode estar onde bem quisermos. Mas para d z não, veja que ele depende de r , assim ele deve vir antes de r , podemos fazer por exemplo d z   d r   d θ .

∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ - r r r   d z   d r   d θ

Integrando em z temos:

∫ 0 2 π ∫ 1 2 r r - - r d r   d θ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 2 r 2 d r   d θ

Integrando em r :

∫ 0 2 π 2 r 3 3 1 2 d θ = ∫ 0 2 π 2 2 2 3 - 1 3 d θ  

Veja que 2 2 2 3 - 1 3 é constante para θ . Assim:

2 2 2 3 - 1 3 ∫ 0 2 π d θ = 2 2 2 3 - 1 3 2 π

= 4 π 2 2 - 1 3 = 4 π 3 2 2 - 1

E prontinho, resolvemos a nossa questão.

Resumindo:

V = ∫ V d V

= ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ - r r r     d z   d r   d θ

= 4 π 3 2 2 - 1

Sendo V :

V = - x 2 + y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2

Resposta

V = ∫ V d V = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ - r r r     d z   d r �� d θ = 4 π 3 2 2 - 1

Sendo V:

V = - x 2 + y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2

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