Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

Elaboração própria

Uma cunha curva é obtida através de um corte perpendicular ao eixo de um cilindro, seguido de um corte que cruza o eixo formando um ângulo de 60 º , conforme a figura:

Sabendo que o cilindro possuía raio 4 , antes de ser cortado, calcule o volume da cunha.

Passo 1

Bora lá. Como um bom primeiro passo, vamos pensar: como eu posso fatiar essa cunha de forma que as seções transversais tenham sempre o mesmo formato? Bem, uma boa ideia seria cortar ao longo do eixo x . Saca só como fica:

Opa, fazendo uma seção transversal perpendicular ao eixo x eu achei um retângulo. E saca só, como em cada x escolhido esse retângulo tem uma área diferente..

A = A x

E se eu somar essas infinitas áreas eu acho o volume, logo:

V = ∫ a b A x   d x

Maravilha, mas antes de passarmos pro próximo passo, tem algumas simplificações que já conseguimos fazer. Veja só, o sólido está definido no eixo x entre a origem e o raio! E a área do retângulo é a base vezes a altura! Show! Conseguimos reescrever o volume para:

V = ∫ 0 4 B x ∙ z x   d x

Vamos modelar então B x e z x pra poder achar o volume, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show de bola. Se olharmos beeem a figura, vamos ver que dois triângulos retângulos muito importantes aparecem. O primeiro é esse aqui ó:

E esse triângulo tem tudo que precisamos pra achar z x ! Basta fazer a tangente do ângulo do corte! Vamos ter:

tan ⁡ 60 º = z x

3 = z x

z x = x 3

E o outro triângulo ta deitado lá de boas só olhando pra gente. Ele vai ser:

Pra esse que eu conheço todos os lados posso pedir ajuda pra Pitágoras, vamos ficar com:

B 2 2 + x 2 = 4 2

B 2 4 = 16 - x 2

B 2 = 16 - x 2

E por fim:

B x = 2 16 - x 2

E a integral fica:

V = 2 3 ∫ 0 4 x 16 - x 2   d x

Passo 3

Agora é só partir pras contas! Dada a integral:

V = 2 3 ∫ 0 4 x 16 - x 2   d x

Pra resolver eu posso olhar bem praquele x ali pendurado e lembrar que se eu derivar um polinômio do segundo grau, eu acho um do primeiro! Então uma boa ideia é a substituição simples:

u = 16 - x 2

d u d x = - 2 x

- d u 2 = x d x

Como a integral é definida, vamos adaptar os limites de integração, beleza?

x = 0 → u = 16 - 0 2 = 16

x = 4 → u = 16 - 4 2 = 0

A integral vai ficar:

V = 2 3 ∫ 0 4 x 16 - x 2   d x = 2 3 ∫ 0 4 16 - x 2   x   d x

V = 2 3 ∫ 16 0 u   - d u 2 = - 3 ∫ 16 0 u   d u = - 3 ∫ 16 0 u 1 2   d u

Finalizando:

V = - 3 u 3 2 3 2   u = 16 u = 0 = - 2 3 3 u 3 2   u = 2 4 u = 0 = - 2 3 3 0 3 2 - 2 4 3 2 = 2 3 3 ∙ 2 6

V = 128   3 3   u . v .

Resposta

V = 128   3 3   u . v .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas