Considere o sólido T delimitada pelas superfícies z = 3 - y 2 ,   z = 6 ,   y = x 2   e   y = 4 . Faça um esboço do sólido, mostre a região de integração e

  1. Formule (mas não resolva) uma integral dupla para calcular o volume do sólido.
  2. Formule (mas n ̃ao resolva) uma integral tripla para calcular o volume do sólido.

Passo 1

Oiee boa noite

Para visualizar e descrever o sólido T delimitado pelas superfícies z   =   3   -   y / 2 ,   z   =   6 ,   y   =   x 2   e   y   =   4 , primeiro vamos esboçar o sólido e identificar a região de integração.

Esboço do sólido T:

1. A superfície z   =   3   -   y / 2 define um plano inclinado que se inclina para baixo à medida que y aumenta e se estende infinitamente em x e z.

2. A superfície z   =   6 define outro plano horizontal paralelo ao plano xy a uma altura z   =   6 .

3. A curva y   =   x 2 é uma parábola que se abre para cima no plano xy e está limitada acima por y   =   4 , que é uma linha horizontal.

Agora, vamos desenhar essas superfícies em um gráfico 3D para obter uma ideia melhor do sólido T.

Passo 2

A região de integração é o espaço limitado pelas superfícies z   =   3   - y 2 ,   z = 6 ,   y =   x 2   e   y   =   4 .

Essa região se estende infinitamente ao longo do eixo x e do eixo z, mas está limitada nos eixos y por y   =   x 2   ( a b a i x o )   e   y   =   4   ( a c i m a ) .

Portanto, a região de integração é um sólido limitado por essas superfícies.

Formulação da integral tripla para calcular o volume:

O volume do sólido T pode ser calculado usando uma integral tripla sobre a região de integração.

A integral tripla é definida da seguinte forma:

V = ∭ T d V

onde dV é um elemento de volume infinitesimal dentro do sólido T.

A integral tripla será sobre as variáveis x ,   y   e   z , e as limitações das variáveis são as superfícies que definem o sólido.

Para definir a integral tripla, primeiro escolhemos uma ordem de integração adequada.

Vamos escolher a ordem de integração d z   d y   d x , que é a ordem mais apropriada para este sólido.

Passo 3

Então, as limitações para as variáveis são as seguintes:

- Para z: de z   =   3   -   y / 2   a t é   z   =   6 .

- Para y: de y   =   x 2   a t é   y   =   4 .

- Para x: de algum ponto inicial até algum ponto final no eixo x (essa parte requer a determinação dos limites de integração em x).

Agora, formulamos a integral tripla:

V = ∫ x m í n x m á x ∫ x 2 4 ∫ 3 - y 2 6 d z d y d x    

Você precisará encontrar os limites de integração em x, que dependem da interseção das superfícies y   =   x 2   e   y   =   4 .  

Resolvendo y   =   x 2   e   y   =   4 , você encontrará os valores de x que definem os limites de integração em x.

Depois de encontrar esses limites, você poderá resolver a integral tripla para calcular o volume do sólido T.

Resposta

Vide a explicação.

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