Calcule o volume V obtido ao girar a região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo L :

c) R : 9 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 . L : x = - 2 ;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região da curva y = 9 - x 2 em torno do da reta x = - 2 , que é paralea ao eixo y . Ele fala também que a região de interesse vai de x = 0 a x = 3 . Sendo assim, nossa região em amarelo, vai rotacionar em torno da reta em laranja na figura:

Pra calcular o volume desse sólido pela revolução da região em torno do eixo paralelo a y , vamos usar o método das cascas cilíndricas, porque seria mais complicado usar o método do anel. Então, nossa integral de volume vai ter essa cara:

V = ∫ a b 2 π   r a i o   d a   c a s c a ∙ a l t u r a   d a   c a s c a   d x

No nosso caso, o raio da casca é dado pela distância da reta de rotação até a função, temos:

r = x - - 2 = x + 2

A altura vai ser a própria função f x :

h = f x = 9 - x 2

O intervalo de integração vai da reta x = 0 a x = 3 . Assim, vamos montar nossa integral e calcular o volume de rotação.

Vamos lá!

Passo 2

Montando a integral, temos:

V = ∫ a b 2 π   r a i o   d a   c a s c a ∙ a l t u r a   d a   c a s c a   d x

V = 2 π ∫ 0 3 ( x + 2 ) ( 9 - x 2 )   d x

Multiplicando termo a termo:

V = 2 π ∫ 0 3 ( 9 x - x 3 + 18 - 2 x 2 ) d x

V = 2 π ∫ 0 3 ( - x 3 - 2 x 2 + 9 x + 18 ) d x

Integrando cada termo, temos:

V = 2 π - x 4 4 - 2 x 3 3 + 9 x 2 2 + 18 x 0 3

Aplicando os intervalos de integração:

V = 2 π - 81 4 - 54 3 + 81 2 + 54 - 0

V = 2 π 225 4 = 450 π 4

Simplificando:

V = 225 2 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 225 2 π

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d