Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies x 2 + y 2 = 16 e z = 4 x para x ≥ 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 16 e pelo plano z = 4 x , pra x sempre positivo. No gráfico, esse sólido ficaria assim:

Como temos um cilindro e dois planos limitando a nossa região, vamos usar as coordenadas cilíndricas:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

J = r

Assim, nós vamos descobrir os intervalos de integração e montar a nossa integral na forma:

V = ∫ a b ∫ c d ∫ e f r d z d r d θ

Vamos lá!

Passo 2

Repare que pra x ≥ 0 , na figura, temos nosso ângulo variando de - π / 2 até π / 2 . Logo,

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

O raio do cilindro varia conforme a equação x 2 + y 2 = 16 = r 2 . Então,

0 ≤ r ≤ 4

E o nosso z varia verticalmente do plano z = 0 até z = 4 x .Como x = r cos ⁡ θ , temos:

0 ≤ z ≤ 4   r cos ⁡ θ

Prontinho, temos nossos intervalos. Vamos montar nossa integral:

V = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 4 ∫ 0 4   r cos ⁡ θ r d z d r d θ

Passo 3

Resolvendo primeiro para z , temos:

V = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 4 z 0 4   r cos ⁡ θ r d r d θ

V = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 4 ( 4   r cos ⁡ θ ) r d r d θ

Integrando agora em relação a r :

V = ∫ - π 2 π 2 4 r 3 3 0 4 cos ⁡ θ d θ

V = ∫ - π 2 π 2 256 3 cos ⁡ θ d θ

Colocando a constante pra fora da integral:

V = 256 3 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ d θ

E podemos integrar em relação a θ :

V = 256 3 - sin ⁡ θ - π 2 π 2

Aplicando os intervalos de integração:

V = 256 3 - 1 - - 1

V = 256 3 ( 2 )

V = 512 3

E encontramos nosso volume.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 512 3

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