Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.

c) y = 25 - x 2 , y = 0 , x = 2 , x = 4 ; em torno do eixo x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região definida pelas semicircunferência y = 25 - x 2 e as retas y = 0 , x = 2 , x = 4 ; em torno do eixo x .

Sendo assim, nossa região em amarelo vai rotacionar em torno da reta em azul, que é o eixo x .

Pelo método dos anéis, nós podemos girar uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo e obter um sólido de revolução em um intervalo [ a ,   b ] . O volume desse sólido vai ser dado pela diferença entre o raio externo (a função que está acima, f ( x ) ) e o raio interno (a função que está abaixo, g ( x ) ).

Assim, temos:

V = ∫ a b ( π f x 2 - π g x 2 ) d x

No nosso caso, f x = 25 - x 2 e g x = 0 . O intervalo [ a ,   b ] é dado pelas retas x = 2 , x = 4 . Então, vamos substituir essas informações e calcular a integral para obter o volume de rotação.

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral, temos:

V = ∫ 2 4 ( π 25 - x 2 2 - π 0 2 ) d x

V = π ∫ 2 4 25 - x 2 d x

A gente pode separar a integral da soma ou subtração na soma ou subtração de integrais, assim:

V = π ∫ 2 4 25 d x - ∫ 2 4 x 2 d x

Integrando cada termo usando a regra da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ), temos:

V = π 25 x - x 3 3 2 4

Aplicando os intervalos de integração:

V = π 25 ( 4 ) - ( 4 ) 3 3 - 25 2 + ( 2 ) 3 3

V = π 100 - 64 3 - 50 + 8 3

V = 94 3 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 94 3 π

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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d