O volume de um certo sólido é dado por

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 x - x ² ∫ - 4 - x 2 - y ² 4 - x 2 - y ² d z d y d x

Em relação ao problema anterior, exprima o mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos pegar aqui a nossa integral tripla:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 x - x ² ∫ - 4 - x 2 - y ² 4 - x 2 - y ² d z d y d x

A primeira etapa que precisamos fazer aqui é deixar claro o intervalo de integração de cada variável:

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2 x - x ²

- 4 - x 2 - y ² ≤ z ≤ 4 - x 2 - y ²

Se a gente trabalhar com a variável z , vamos achar o sólido envolvido no volume:

z = 4 - x 2 - y ²

z 2 = 4 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Reparem que estamos trabalhando aqui com uma esfera de raio 2 .

Passo 2

Show, agora vamos começar a fazer as alterações. No caso, ele pede que usemos coordenadas cilíndricas.

x = r c o s θ

y = r s e n θ

z = z

J = r

Show, já sabemos como vamos fazer as alterações. Vamos começar então. No final do Passo 1 vimos que o raio da esfera é 2 . Então:

0 ≤ r ≤ 2

A função z é: z = 6 - 2 x - 3 y . As derivadas parciais são:

∂ z ∂ x = - 2

∂ z ∂ y = - 3

Assim temos:

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   = 1 + - 2 2 + - 3 2   = 14

Passo 3

Agora vamos montar a integral:

∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 0 3 ∫ 0 2 - 2 3 x 14 d y d x

A = 14 ∫ 0 3 y 0 2 - 2 3 x d x = 14 ∫ 0 3   2 - 2 3 x   d x = 14 2 x - 2 6 x 2 0 3

A = 14 3.2 - 2 6 3 2 - 0 = 14 . 6 - 3 = 3 14

Show!

Resposta

3 14

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d