Esboce e calcule o volume do sólido descrito.

e) O sólido S cuja base é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x , e cujas secções perpendiculares ao eixo x são quadrados.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar e calcular o volume do sólido S cuja base é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x , e cujas secções perpendiculares ao eixo x são quadrados. Ou seja:

Onde o consideramos:

  • Eixo x : vermelho;
  • Eixo y : verde;
  • Eixo z : azul.

Também, devemos considerar apenas a parte positiva do eixo x para o sólido a ser estudado.

Para calcular o seu volume, podemos descobrir a área da base (que é uma parábola) e multiplicar por sua altura em z , que denominaremos de h .

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... Calculando a área A da parábola descrita por y = 1 - x 2 , podemos integrar da seguinte forma:

A = ∫ - 1 1 y x d x ∴

A = ∫ - 1 1 1 - x 2 d x ∴

A = x - x 3 3 1 - 1 ∴

A = 4 3

Passo 3

Dessa forma, o volume V é dado pela multiplicação da área A pela altura h :

V = A * h ∴

V = 4 3 h

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V = 4 3 h

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d