Determine o volume dos sólidos S, usando integração.

e) a região delimitada por dois cilindros circulares retos que se interceptam perpendicularmente.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão

A forma de interceptação de dois cilindros nos dá uma imagem desse tipo:

E a interseção de ambos nos da o volume do tipo:

E veja que a imagem é simétrica, logo se achar o volume de um lado podemos multiplicar por 4 e acharemos o volume total.

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir

Fazendo um esboço, temos:

Esta é um quarto, conforme o que tínhamos dito no passo anterior, assim achando o volume desta parte e multiplicando por 4 poderemos achar o volume total da interseção dos cilindros!!

Passo 3

Sabemos que o volume é dado por:

V = ∫ a b A x d x

E A x = P Q 2 = r 2 - x 2

E pela figura x varia de –r até +r.

Passo 4

Assim:

V = 4 ∫ - r + r r 2 - x 2 d x

O 4 vem da multiplicação para o volume total, como dizemos antes.

V = 4 r 2 x - x 3 3 - r + r

V = 4 r 3 - r 3 3 - - r 3 - - r 3 3

V = 4 r 3 - r 3 3 + r 3 - r 3 3

V = 4 2 r 3 - 2 3 r 3

V = 8 r 3 - 1 3 r 3

V = 16 3 r 3

Resposta

V = 16 3 r 3

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d