Seja R a região limitada verticalmente por z = 0 e z = 4 - r 2 , e lateralmente por x 2 + y 2 = 2 x . Esboce a região e calcule seu volume.

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

O enunciado apresenta uma região R que tem algumas limitações, primeiro, ela é limitada pelo plano z = 0 e a esfera z = 4 - r 2 , note que ele usou coordenadas cilíndricas para escrever esta expressão. A região também é limitada lateralmente pela superfície

x 2 + y 2 = 2 x

que é um cilindro! Vamos fazer um esboço da região, e então calcular o volume dela, ou seja, resolver a integral tripla

V = ∫ ∫ ∫ R d V

em que o principal desafio é obter os limites de integração! Bora lá!

Passo 2

Vamos reescrever a expressão

x 2 + y 2 = 2 x

se passarmos 2 x para o lado esquerdo e completar o quadrado somando e subtraindo 1 , temos que

x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 = 0

ou simplesmente

( x - 1 ) 2 + y 2 = 1

que é a equação de um cilindro em coordenadas cilíndricas de raio r = 1 , mas com centro x = 1 . A região é a seguinte

Vamos escrever a nossa integral de volume agora!

Passo 3

Note que nosso cilindro está fora do centro do sistema de coordenadas, portanto, vamos ter que tomar um pouco de cuidado na hora de estabelecer nossos limites de integração. Em coordenadas cilíndricas

x =   r   c o s ( θ ) ,   y = r   s e n ( θ ) e z = z

o elemento de volume será d V = r   d r   d θ   d z . E, as superfícies tomam a forma

z = 4 - r 2 e r = 2   c o s ( θ )

então, temos que a coordenada radial que descrever a nossa esfera em coordenadas cilíndricas, nos leva de r = 0 até r = 2   c o s ( θ ) que é o nosso cilindro. E, também, como temos que a superfície não está simétrica em relação ao eixo z , o ângulo θ se inicia em 0 e vai até π para descrever completamente a nossa região, sendo assim, nossa integral se torna

V = ∫ 0 π ∫ 0 2   c o s ( θ ) ∫ 0 4 - r 2 r d z d r d θ

Vamos começar a integrar! Bora lá!

Passo 4

A integral em z é bastante simples, temos que

∫ 0 4 - r 2 d z = z | 0 4 - r 2 = 4 - r 2

de forma, que nosso volume se torna

V = ∫ 0 π ∫ 0 2   c o s ( θ ) r 4 - r 2 d r d θ

para resolver a integral em r , vamos fazer a substituição simples

u = 4 - r 2 e d u = - 2 r   d r

de forma que podemos escrever

∫ 0 2   c o s ( θ ) r 4 - r 2 d r = - 1 2 ∫ u ( 0 ) u [ 2   c o s ( θ ) ] u 1 / 2 d u

usando que

∫ u 1 / 2 d u = 2 3 u 3 / 2 + C

e voltando as variáveis originais u = 4 - r 2 , temos que

∫ 0 2   c o s ( θ ) r 4 - r 2 d r = - 1 3 [ 4 - r 2 ] 3 / 2 | 0 2   c o s ( θ ) = - 1 3 [ 4 - 4   c o s 2 ( θ ) ] 3 / 2 + 4 3 / 2 3

ou, usando que 1 - c o s 2 ( θ ) = s e n 2 ( θ ) , temos que

∫ 0 2   c o s ( θ ) r 4 - r 2 d r = 8 3 - 8 3 s e n 3 ( θ )

Uff… Vamos para a última integral agora!

Passo 5

Usando o resultado do último passo temos que

V = ∫ 0 π [ 8 3 - 8 3 s e n 3 ( θ ) ] d θ = 8 3 ∫ 0 π d θ - 8 3 ∫ 0 π s e n 3 ( θ ) d θ

a primeira integral é um pouco mais simples, temos que

∫ 0 π d θ = θ | 0 π = π

Para a outra é conveniente reescrever um pouco nosso integrando como

∫ 0 π s e n 3 ( θ ) d θ = ∫ 0 π s e n ( θ ) [ s e n 2 ( θ ) ] d θ

e, como temos que s e n 2 ( θ ) = 1 - c o s 2 ( θ ) , podemos escrever que

∫ 0 π s e n 3 ( θ ) d θ = ∫ 0 π s e n ( θ ) - ∫ 0 π s e n ( θ ) c o s 2 ( θ ) d θ

A primeira integral é conhecida como

∫ 0 π s e n ( θ ) = - c o s ( θ ) | 0 π = - ( - 1 - 1 )

ou simplesmente

∫ 0 π s e n ( θ ) = 2

Agora, para a outra integral, iremos precisar fazer a substituição simples

u =   c o s ( θ ) e d u = - s e n ( θ ) d θ

de forma que

∫ 0 π s e n ( θ ) c o s 2 ( θ ) d θ = - ∫ u ( 0 ) u ( π ) u 2 d u = - 1 3 u 3 | u ( 0 ) u ( π )

usando que u ( π ) = - 1 e u ( 0 ) = 1 , temos que

- 1 3 u 3 | u ( 0 ) u ( π ) = - 1 3 [ ( - 1 ) 3 - ( 1 ) 3 ] = 2 3

Finalmente, a nossa integral se torna

∫ 0 π s e n 3 ( θ ) d θ = 2 - ( 2 3 ) = 4 3

Finalmente, o volume será simplesmente

V = ∫ 0 π [ 8 3 - 8 3 s e n 3 ( θ ) ] d θ = 8 π 3 - 8 3 [ 4 3 ] = 8 3 [ 3 π - 4 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 8 3 [ 3 π - 4 ]

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d