Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e inferiormente pelo quadrado R :   - 1 ≤ x ≤ 1 ,   - 1 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa questão! Vamos lá?

O problema nos deu algumas equações

z = x 2 + y 2

E o retângulo

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

E pediu para descobrirmos o volume limitado por elas! Vom, o volume de algum sólido pode ser dado por uma integral tripla:

∭ V d V

Onde d V é o diferencial de volume. No nosso caso a ordem importa! Precisamos que seja integrado z antes, pois z é uma função de x e y ! Então essa integração precisa vir antes! Então podemos ter assim

d V = d z   d y   d x

Você pode tentar outra ordem (sempre fazendo z antes) e verificar que temos o mesmo resultado!

E os limites de integração? Olhando as equações dá pra ver que os limites ficam assim

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Beleza? Agora é só montar a integral e #partiu resolver!

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Agora vamos montar a integral! Novo volume é

∭ V d V

Os limites de integração

- 1 ≤ x ≤ 1

- 2 ≤ y ≤ 2

0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

E o diferencial de volume

d V = d z   d y   d x

Agora vamos juntar

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 x 2 + y 2 d z   d y   d x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora é #partiu resolver, primeiro em z :

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 x 2 + y 2 d z   d y   d x

= ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 z 0 x 2 + y 2   d y d x = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 x 2 + y 2   d y   d x

Beleza? Agora vamos integrar em y :

= ∫ - 1 1 x 2 y + y 3 3 - 1 1 d x = ∫ - 1 1 x 2 + 1 3 - - x 2 - 1 3 d x

Vamos simplificar e ficar com uma integral simples em x :

= ∫ - 1 1 2 x 2 + 2 3 d x

E por fim integrar em x

= 2 x 3 3 + 2 x 3 - 1 1

= 2 3 + 2 3 - - 2 3 - 2 3 = 8 3

Pronto! Essa é nossa resposta!

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

8 3

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d