Determine o volume dos sólidos S, usando integração.

b) um cone truncado de base circular.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão

Um cone truncado é um cone cortado, de forma que parece um tronco do cone.

Se queremos achar o volume de algo, podemos fazer:

V = ∫ a b A x d x

E área do cone é:

A x = π r x 2

Agora só devemos achar uma função que dependa de x para integrarmos, Bora lá?!

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir

Fazendo uma função para:

Onde temos que:

Ou seja, para x=0, y=R, e h=r, y=r e assim os demais.

Assim tomando o produtos:

x r + h R - y h - R x = 0 → y = - R + r h x + R

Onde essa função y é r ( x ) .

Passo 3

Sabemos que x compreende de 0 até h. Logo:

V = ∫ 0 h π - R + r h x + R 2 d x

V = π ∫ 0 h - R + r h 2 x 2 + R 2 + 2 R h - R + r x d x

V = π - R + r h 2 x 3 3 + x R 2 + 2 R h - R + r x 2 2 0 h

V = π - R + r 2 h 3 + R 2 h + R h - R + r

V = π - 2 R r + r 2 + R 2 h 3 + R 2 h - R 2 h + R r h

V = π - 2 R r + r 2 + R 2 h 3 + R r h

V = π h 3 - 2 R r + r 2 + R 2 + 3 R r

V = π h 3 R r + R 2 + r 2  

Resposta

V = π h 3 R r + R 2 + r 2  

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d