(4) Utilize o Teorema de Pappus-Guldin para determinar:

(b) o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do triangulo com vértices nos pontos 2,3 , 2,5 , 5,4 ao redor do eixo x .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que aplicar o teorema de Pappus-Guldin para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, através do eixo x , do triangulo de vértices 2,3 , 2,5 , 5,4 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O teorema de Pappus-Guldin nos diz que o volume de um solido de revolução é dado por

V = 2 π r - A

Onde r - é a distância do centroide da área a ser revolucionada e A é sua área.

Primeiramente vamos obter o gráfico da área que vamos revolucionar, calcular sua área e a distância do seu centroide até o eixo de rotação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar esboçando o triangulo e calculando seu centroide.

O centroide de um triangulo pode ser obtido a partir de seguimentos que ligam o vértice até o ponto médio do lado oposto a esse vértice. O cruzamento desses seguimentos para todos os vértices é o centroide no nosso triângulo.

Perceba que o centroide está na metade da altura entre 2,3 e 2,5 e também em 1 3 da altura entre x = 2 e x = 5 .

Portanto o centroide do triangulo é dado por

C e n t . = 3,4

Dessa forma a distância do centroide até o eixo de rotação x é dado por

r - = 4

E por fim, a área do triangulo é dado por

A = b h 2

Onde b é o comprimento da base e h é o comprimento da altura.

Se considerarmos o seguimento A B como a base, vemos que b = 2 e h = 3

Logo, a área do triangulo é dado por

A = 2 · 3 2 = 3

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

O que nos resta é substituir r - e A na equação do teorema

V = 2 π r - A

V = 2 π 4 3

V = 24 π

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

V = 24 π

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