Calcule o volume do sólido contido no parabolóide 2 z = x 2 + y 2 , limitado por este e pela esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 3 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular o volume contido no parabolóide

2 z = x 2 + y 2

e limitado pela esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 3

Este sólido é tal que

note que a tampa é a esfera e a base é o parabolóide, o volume deve ser calculado usando que

V = ∫ S ∫ ∫ d x d y d z

Vamos procurar os limites e integração adequados ao nosso problema! Saca só!

Passo 2

Vamos resolver este problema usando coordenadas cilíndricas da forma

x = r   c o s ( θ ) , y = r   s e n ( θ ) e z = z

nessas condições as equações tomam a forma

r 2 + z 2 = 3

e, também

z = r 2 2

como o jacobiano de coordenadas cilíndricas é dado por

∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = r

O nosso volume é então dado por

V = ∫ ∫ ∫ r d r d θ d z

Vamos procurar os limites de integração!

Passo 3

A interseção entre as superfícies resulta em

2 z + z 2 = 3

Aplicando bhaskara encontramos a seguinte solução

z = - 2 ± 4 + 12 2

resultando nas duas raízes

z + = 1 e z - = - 3

a raíz negativa não é solução para a equação do parabolóide, portanto, temos que apenas a raíz positiva é válida. A interseção com o plano z = 1 , resulta em uma circunferência

r 2 = 2

e, portanto, a integral de volume se torna

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 / 2 3 - r 2 r d r d θ d z

Os limites não são constantes, portanto, temos que integrar primeiro na variável cujo limites depende das outras, ou seja, integrar primeiro em z . Vamos lá!

Passo 4

A integral em z pode ser identificada diretamente como

∫ r 2 / 2 3 - r 2 d z = z | r 2 / 2 3 - r 2 = 3 - r 2 - r 2 / 2

ou seja, nosso volume é dado por

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 [ 3 - r 2 - r 2 / 2 ] r d r d θ

dividindo em duas integrais temos que

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 - r 2 r d r d θ - 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3 d r d θ

A integral em r no segundo termo pode ser identificada como

∫ 0 2 r 3 d r = 1 4 r 4 | 0 2 = 1

e, para a outra precisando fazer uma substituição simples da forma

u = 3 - r 2 e d u = - 2 r   d r

de forma que a integral se torna

∫ 0 2 3 - r 2 r d r = - 1 2 ∫ 3 1 u 1 / 2 d u

essa integral resulta em

- 1 2 ∫ 3 1 u 1 / 2 d u = - 1 2 [ u 3 / 2 3 / 2 ] | 3 1 = - 1 3 [ 1 - ( 3 ) 3 / 2 ]

que pode ser simplificado como

- 1 2 ∫ 3 1 u 1 / 2 d u = 1 3 ( 3 3 - 1 )

O volume é então dado por

V = 1 3 ( 3 3 - 1 ) ∫ 0 2 π d θ - 1 2 ∫ 0 2 π d θ

com a integral em θ é simplesmente

∫ 0 2 π d θ = θ | 0 2 π = 2 π

finalmente obtemos

V = 2 π 3 ( 3 3 - 1 ) - π = π 3 ( 6 3 - 5 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = π 3 ( 6 3 - 5 )

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d