Determine o volume do sólido que está acima do cone ϕ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 4   c o s ( ϕ ) .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

temos que calcular o volume do sólido que é delimitado inferiormente por um cone ϕ = π / 3 e pela esfera ρ = 4   c o s ( ϕ ) . Que podem ser representados como

parecem definições um pouco estranhas, mas é que está tudo dado em coordenadas esféricas! para calcular o volume de um sólido em coordenadas esféricas, apenas precisamos resolver a seguinte integral tripla

V = ∫ ∫ ∫ d V

Então toda a questão se resume em lembrar quem é d V e quais são os limites de integração! Bora lá!

Passo 2

Para coordenadas esféricas temos que o elemento infinitesimal é

d V = ρ 2 s e n ( ϕ ) d ϕ d θ d ρ

mas quais são os limites de integração? Note que θ é o ângulo polar, e como é possível dar uma volta completa ao redor da esfera (pela plano x y ), temos que 0 ≤ θ ≤ 2 π . A coordenada radial no entanto, ela vai da origem do sistema de coordenadas até a esfera dada por ρ = 4   c o s ( ϕ ) , portanto, temos que

0 ≤ ρ ≤ 4   c o s ( ϕ )

por último, temos o ângulo ϕ , que é o ângulo azimutal, ele vem da vertical ϕ = 0 até o cone ϕ = π / 3 , portanto, o nosso volume é resultado da seguinte integração

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ 0 4   c o s ( ϕ ) ρ 2   s e n ( ϕ ) d ρ d ϕ d θ

Agora temos que integrar individualmente cada variável! Bora lá!

Passo 3

Como temos que a integração em ρ resulta em uma função de ϕ , vamos resolver ela primeiro! Temos que

∫ 0 4   c o s ( ϕ ) ρ 2 = ρ 2 + 1 2 + 1 | 0 4   c o s ( ϕ ) = ρ 3 3 | 0 4   c o s ( ϕ )

avaliando os limites de integração, temos que

∫ 0 4   c o s ( ϕ ) ρ 2 = 1 3 [ 64   c o s 3 ( ϕ ) - 0 ] = 64 3   c o s 3 ( ϕ )

Voltando para a integral do volume, temos que

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ 0 4   c o s ( ϕ ) ρ 2 s e n ( ϕ ) d ρ d ϕ d θ = 64 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 c o s 3 ( ϕ ) s e n ( ϕ ) d ϕ d θ

Vamos resolver a integral em ϕ agora já que ela é um pouco mais complicada! Vem comigo

Passo 4

Temos que resolver a seguinte integral

∫ 0 π / 3 c o s 3 ( ϕ ) s e n ( ϕ ) d ϕ

note que temos um produto de seno e cosseno, portanto, é possível usar substituição simples, uma vez que escolhendo

u =   c o s ( ϕ )

temos que

d u   =   - s e n ( ϕ ) d ϕ

e, a nossa integral toma a forma

∫ 0 π / 3 c o s 3 ( ϕ ) s e n ( ϕ ) d ϕ = - ∫ u ( 0 ) u ( π / 3 ) u 3 d u

como temos que π / 3 é o mesmo que 60 ° , temos que u ( π / 3 ) = c o s ( π / 3 ) = 1 / 2 e também u ( 0 ) = 1 , portanto, resolvendo a integral, temos que

- ∫ 1 1 / 2 u 3 d u = - u 3 + 1 3 + 1 | 1 1 / 2 = - 1 4 [ u 4 ] 1 1 / 2

Avaliando os limites, temos que

∫ 0 π / 3 c o s 3 ( ϕ ) s e n ( ϕ ) d ϕ = - 1 4 [ ( 1 / 2 ) 4 - 1 4 ] = 15 64

Vamos voltar para a nossa integral original agora! Saca só!

Passo 5

Usando o resultado que acabamos de calcular, temos que

V = 64 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 c o s 3 ( ϕ ) s e n ( ϕ ) d ϕ d θ = 5 ∫ 0 2 π d θ

E o resultado desta última integral é bastante direto, temos que

∫ 0 2 π d θ = θ | 0 2 π = 2 π - 0

E, portanto, temos que

V = 5 ∫ 0 2 π d θ = 10 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 10 π

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Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
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Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d