Seja a área A o conjunto de pontos tais que y ≥ x 2 - 1 , y ≤ x 2 4 + 2 , y ≥ 0 e 0 ≤ x ≤ 2 .

  1. Determine o volume gerado pela revolução da área A em torno da reta x = 0 ;
  2. Determine o volume gerado pela revolução da área A em torno da reta x = 2 .

Passo 1

Molecada MUITO boa, vambora! Usando o traço que fizemos no item ( a )

A fim de calcular o volume de revolução em torno de x = 2 , utilizaremos cascas cilíndricas de raio r = 2 - x e altura x 2 - 1 ≤ h ≤ x 2 4 + 2 , com espessura d r = - d x , o volume pelas cascas seria:

V = 2 π ∫ r h d r

= 2 π ∫ 2 0 ( 2 - x ) x 2 4 + 2 - x 2 - 1 ( - d x )

= 2 π ∫ 0 2 ( 2 - x ) - 3 x 2 4 + 3 d x

= 2 π ∫ 0 2 3 x 3 4 - 3 x 2 2 - 3 x + 6   d x

= 2 π + 3 x 4 16 - x 3 2 - 3 2 x 2 + 6 x 0 2

= 2 π ( 3 - 4 - 6 + 12 )

= 10 π

Resposta

V = 10 π

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d