Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:

f) S é limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = a 2 e y 2 + z 2 = a 2 , onde a > 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que é limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = a 2 e y 2 + z 2 = a 2 , onde a > 0 . Plotando esses cilindros, temos:

Então, vamos observar o gráfico e verificar como x ,   y e z estão variando. Assim, a gente consegue encontrar os limites de integração do nosso volume na equação:

V = ∫ a b ∫ c d ∫ e f d z d y d x

Vamos lá!

Passo 2

Repare que z é limitado pelo cilindro horizontal, y 2 + z 2 = a 2 . Então, isolando z ,temos:

- a 2 - y 2 ≤ z ≤ a 2 - y 2

Agora repare que a projeção do cilindro no plano x y é a circunferência de equação x 2 + y 2 = a 2 :

Pra facilitar nossos cálculos na hora de integrar (como vamos ver no próximo passo), vamos isolar x na equação da circunferência, de modo que teremos x = ± a 2 - y 2 . Além disso, como o raio da nossa circunferência é a , temos y variando de - a até a . Assim, vamos ter:

- a 2 - y 2 ≤ x ≤ a 2 - y 2

- a ≤ y ≤ a

Passo 3

Agora que já temos nossos intervalos, é só montar a integral de volume:

V = ∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 d z d x d y

Integrando primeiro em relação a z , temos:

V = ∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 z - a 2 - y 2 a 2 - y 2     d x d y

V = ∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 2 a 2 - y 2   d x d y

Integrando agora em relação a x (repare que todo o integrando é constante em relação x , por isso fica mais fácil integrar agora):

V = ∫ - a a 2 a 2 - y 2 x - a 2 - y 2 a 2 - y 2 d y

Aplicando os limites de integração em x :

V = ∫ - a a 2 a 2 - y 2 2 a 2 - y 2 d y

V = ∫ - a a 4 ( a 2 - y 2 )   d y

Por fim, integrando em relação y , vamos obter:

V = 4 a 2 y - 4 y 3 3 - a a

Aplicando os limites em y e somando as frações:

V = 4 a 2 a - 4 3 a 3 - 4 a 2 - a + 4 3 - a 3

V = 8 a 3 - 8 3 a 3 = 16 3 a 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 16 3 a 3

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