Calcule o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelas superfícies z = x + y , x y = 1 , x y = 2 , y = x , y = 2 x e z = 0 .

(Sugestão: Faça u = x y e v = y x )

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O sólido é formado pelas superfícies

z = x + y , x y = 1 , x y = 2 , y = x , y = 2 x e z = 0

Temos que a tampa deste sólido é dada por

z = x + y

os planos y = x e y = 2 x , e as superfícies x y = 1 e x y = 2 definem as laterais. Precisamos escrever o volume da seguinte maneira

V = ∫ D ∫ f ( x , y ) d x d y

A região D pode ser visualizada como

Vamos tentar obter os limites de integração! Bora lá!

Passo 2

A sugestão do enunciado é que usemos a substituição

u = x y e v = y / x         ( 1 )

para reescrever a integral precisamos calcular o jacobiano da transformação usando a definição

Note que se multiplicar as duas equações em ( 1 ) , temos que

u v = y

e, se dividirmos as duas equações, temos que

u v = x

Sendo assim, aplicando a definição de jacobiano, podemos obter

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v - ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u = u v + 1 v

De forma que a integral se torna

V = ∫ D ' ∫ 1 v ( u + 1 ) f ( u , v ) d u d v

como temos que f ( x , y ) = x + y , temos que

f ( u , v ) = u v + u v

ou simplesmente

V = ∫ D ' ∫ 1 v ( u + 1 ) ( u v + u v ) d u d v

Vamos achar os limites de integração!

Passo 3

Usando a nossa transformação de coordenadas, temos que

x y = 1 e x y = 2

nos levam aos limites

u = 1 e u = 2

e, as superfícies

y = x e y = 2 x

nos levam à

v = 1 e v = 2

que é uma região retangular! A nossa integral se torna simplesmente

V = ∫ 1 2 ∫ 1 2 1 v ( u + 1 ) ( u v + u v ) d u d v

distribuindo os produtos temos que

V = ∫ 1 2 ∫ 1 2 ( u 2 v 2 + u 2 + u v 2 + u ) d u d v = ∫ 1 2 ∫ 1 2 ( u 2 v - 2 + u 2 + u v - 2 + u ) d u d v

Como a região é retangular (limites constantes) podemos simplesmente integrar em qualquer ordem! Vamos começar com as integrais em u !

Passo 4

Integrando em u podemos usar que

∫ 1 2 u 2 d u = 1 3 u 3 | 1 2 = 7 3

e, também

∫ 1 2 u d u = 1 2 u 2 | 1 2 = 3 2

O volume se torna

V = ∫ 1 2 ( 7 3 v - 2 + 7 3 + 3 2 v - 2 + 3 2 ) d v

Resolvendo agora a integral em v , temos que

∫ 1 2 v - 2 d v = - 1 v | 1 2 = - ( 1 2 - 1 )

ou simplesmente

∫ 1 2 v - 2 d v = 1 2

Juntando todos os resultados temos que

V = ( 7 6 + 7 3 + 3 4 + 3 2 ) = 23 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 23 4

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d