Calcule o volume do sólido E no semiespaço z ≥ 0 , delimitado pelo cilindro x = y 2 e pelos planos z = 1 e x + y = 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos encontrar o volume do sólido E no semiespaço z ≥ 0 , delimitado pelo cilindro x = y 2 e pelos planos z = 1 e x + y = 2 .

Ou seja, graficamente temos:

Para calcularmos o volume v , temos que saber que:

v = ∫ ∫ ∫ d x d y d z

Passo 2

Bom... nesse plano, podemos observar que:  

0 < z < 1

- 2 < y < 1

(Em que esse último refere-se aos pontos de contato x = y 2 e x + y = 2 ).

E

y 2 < x < 2 - y

Passo 3

Agora, integrando, temos:

v = ∫ 0 1 ∫ - 2 1 ∫ y 2 2 - y d x   d y   d z     ∴

v = ∫ 0 1 ∫ - 2 1 2 - y - y 2     d y   d z ∴

v = ∫ 0 1 2 y - y 2 2 - y 3 3 d z ∴

v = 9 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

v = 9 2

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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d