Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.

a) y = 2 - 1 2 x , y = 0 , x = 1 , x = 2 ; em torno do eixo x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região definida pelas retas y = 2 - 1 2 x , y = 0 , x = 1 , x = 2 ; em torno do eixo x .

Sendo assim, nossa região em amarelo vai rotacionar em torno da reta em azul, que é o eixo x .

Pelo método dos discos, nós podemos calcular o volume dos sólidos obtidos pela rotação em torno de um eixo através da equação:

V = π ∫ a b f x 2 d x

No nosso caso, f x = 2 - 1 2 x e o intervalo [ a ,   b ] é dado pelas retas x = 1 e x = 2 . Então, vamos substituir essas informações e calcular a integral para obter o volume de rotação.

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral, temos:

V = π ∫ 1 2 2 - 1 2 x 2 d x

V = π ∫ 1 2 4 - 2 x + 1 4 x 2 d x

A gente pode separar a integral da soma na soma de integrais, assim:

V = π ∫ 1 2 4 d x - ∫ 1 2 2 x d x + ∫ 1 2 1 4 x 2 d x

Integrando cada termo usando a regra da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ), temos:

V = π 4 x - 2 x 2 2 + x 3 4 ∙ 3 1 2

V = π 4 x - x 2 + x 3 12 1 2

Aplicando os intervalos de integração:

V = π 4 2 - 2 2 + 2 3 12 - 4 1 + 1 2 - 1 3 12

V = π 8 - 4 + 8 12 - 4 + 1 - 1 12

V = 19 12 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 19 12 π

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