Calcule o volume V obtido ao girar a região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo L :

b) R : y = x 2 - 2 , y = 4 - x 2 . L : y = - 3 ;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região entre as curvas y = x 2 - 2 e y = 4 - x 2 em torno do da reta y = - 3 , que é paralea ao eixo x . Sendo assim, nossa região em amarelo, vai rotacionar em torno da reta em verde na figura:

Pelo método dos anéis, nós sabemos que dá pra gente girar uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo e obter um sólido de revolução em um intervalo [ a ,   b ] . O volume desse sólido vai ser dado pela diferença entre o raio externo R E (a função que está acima, f ( x ) ) e o raio interno R I (a função que está abaixo, g ( x ) ).

Só que precisamos considerar que nosso eixo de rotação é uma reta paralela ao eixo x , sendo assim, o raio externo e o raio interno não são mais f ( x ) e g ( x ) , porque a distância ao eixo de revolução passa a ser a distância de cada curva até essa reta y = - 3 .

Assim, temos:

R E = f x - ( - 3 )

R I = g x - ( - 3 )

V = ∫ a b ( π R E 2 - π R I 2 ) d x

No nosso caso, f x = 4 - x 2 e g x = x 2 - 2 . O intervalo [ a ,   b ] é dado pela interseção entre as parábolas. Então, vamos substituir essas informações e calcular a integral para obter o volume de rotação.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando nosso intervalo de integração na interseção entre f x = 4 - x 2 e g x = x 2 - 2 :

4 - x 2 = x 2 - 2

- 2 x 2 = - 6

x 2 = 3 → x = ± 3

Então, nosso intervalo vai de - 3 a 3 :

- 3 ≤ x ≤ 3

Passo 3

Agora vamos definir os raios externo e interno, respectivamente:

R E = f x - - 3 = 4 - x 2 + 3 = 7 - x 2

R I = g x - - 3 = x 2 - 2 + 3 = x 2 + 1

Então, nossa integral para o volume de rotação será:

V = ∫ a b ( π R E 2 - �� R I 2 ) d x

V = ∫ - 3 3 π 7 - x 2 2 - π x 2 + 1 2 d x

Abrindo os produtos, temos:

V = π ∫ - 3 3 49 - 14 x 2 + x 4 - ( x 4 + 2 x 2 + 1 ) d x

V = π ∫ - 3 3 ( - 1 6 x 2 + 48 ) d x

Resolvendo a integralzinha:

V = π - 1 6 x 3 3 + 48 x - 3 3

Aplicando os intervalos de integração:

V = π - 16 3 3 3 + 48 3 - - 16 3 - 3 3 + 48 - 3

V = π - 32 3 + 96 3

V = 64 3 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 64 3 π

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